Загрузка...



  • Глава 5 Модели самоорганизации
  • Примечания к главе 5
  • Глава 6 Математика сложных систем
  • Примечания к главе 6
  • Часть III Части головоломки

    Глава 5 Модели самоорганизации

    Прикладное системное мышление

    В 50— 60-е годы системное мышление оказывало сильное влияние на технику и организацию управления, где системные концепции — в том числе и кибернетические — применялись для решения практических проблем. Эти приложения породили новые дисциплины — системотехнику, системный анализ и системное управление (менеджмент)1.

    По мере того как структура промышленных предприятий стремительно усложнялась с развитием новых химических, электронных и коммуникационных технологий, менеджерам и инженерам приходилось уже не только беспокоиться по поводу огромного количества отдельных компонентов, но и разбираться в эффектах, обусловленных взаимодействием этих компонентов, — как в физических, так и в организационных системах. Так, многие инженеры и руководители проектов в крупных компаниях принялись разрабатывать стратегии и методологии, в которых явно использовались системные концепции. Во многих книгах по системотехнике, опубликованных в 60-е годы, можно было найти такого рода тексты:

    Системный инженер должен быть способен предсказать также внезапные свойства системы, то есть те, которыми обладает система, но не ее части2.

    Метод стратегического мышления, известный как «системный анализ», впервые был освоен корпорацией RAND — институтом военных Исследований и разработок, который основан в конце 40-х годов и в Дальнейшем стал моделью для многочисленных «мыслительных цент-Ров», специализирующихся в «делании политики» и технологическом маклерстве3. Системный анализ возник из оперативных исследований, анализа и планирования боевых операций во времена Второй мировой войны. Сюда входила и координация использования радаров в противовоздушных операциях — та же проблема, которая побудила к теоретическим разработкам по кибернетике.

    В 50-е годы системный анализ вышел за рамки военных применений и превратился в широкий системный подход к анализу рентабельности, который включал математические модели для испытания альтернативных программ, предлагаемых для достижения строго определенной цели. Как говорилось в популярном тексте, опубликованном в 1968 году,

    Надо стремиться к тому, чтобы охватить всю проблему в целом, в контексте, и сравнить альтернативные варианты в свете их возможных результатов4.

    Вскоре после разработки системного анализа как метода, пригодного для решения сложных организационных проблем в военной области, менеджеры стали использовать новый подход для решения подобных задач в бизнесе. «Системно-ориентированный менеджмент» стал новым лозунгом, и в течение 60-х и 70-х годов был опубликован целый ряд книг по менеджменту, в заглавие которых входило слово «системный»5. Техника моделирования «системной динамики», разработанная Джеем Форрестером, а также «кибернетика менеджмента» Стэффорда Вира — яркие примеры первых многозначительных формулировок системного подхода в менеджменте6.

    Десятилетие спустя подобный, но гораздо более тонкий подход к менеджменту был разработан Гансом Ульрихом из Школы бизнеса в Сент-Галлен, Швейцария7. Подход Ульриха хорошо известен в европейской сфере менеджмента как «сент-галленская модель». В основе его лежит взгляд на коммерческую организацию как на живую социальную систему. С годами этот метод вобрал в себя множество идей из биологии, когнитивной науки, экологии и теории эволюции. Эти последние достижения породили новую дисциплину — «системный менеджмент», который теперь преподается в европейских школах бизнеса и пропагандируется консультантами по менеджменту8.

    Расцвет молекулярной биологии

    Системный подход оказал значительное влияние на менеджмент и технику в 50— 60-е годы, но его использование в биологии того времени, как это ни парадоксально, было весьма незначительным. 50-е годы стали десятилетием громкого триумфа генетики — выявления физической структуры ДНК, которое было провозглашено величайшим открытием в биологии после дарвиновской теории эволюции. На несколько десятилетий эти триумфальные успехи затмили системный взгляд на жизнь. В очередной раз маятник качнулся назад к механицизму.

    Достижения генетики произвели значительную перемену в биологических исследованиях, дали новый подход, который до сих пор доминирует в наших академических заведениях. Если в XIX столетии клетки считались базовыми строительными блоками живых организмов, то в середине XX века внимание переместилось от клеток к молекулам, когда генетики стали изучать молекулярную структуру гена.

    Продвигаясь в своих исследованиях феноменов жизни в сторону все более мелких уровней, биологи обнаружили, что характеристики всех живых организмов — от бактерии до человека — закодированы в их хромосомах, притом в одинаковом химическом веществе и с использованием одинакового кодового шифра. После двух десятилетий напряженных исследований точные детали этого кода были раскрыты. Биологи обнаружили алфавит поистине универсального языка жизни9.

    Этот триумф молекулярной биологии вылился в широко распространенное убеждение, что все биологические функции могут быть объяснены с помощью молекулярных структур и механизмов. Так большинство биологов превратились в пламенных редукционистов, увлеченных молекулярными тонкостями. Молекулярная биология, изначально лишь небольшая ветвь науки о жизни, теперь превратилась в распространенный и исключительный способ мышления, который приводит к серьезным искажениям в биологических исследованиях.

    В то же время во второй половине XX столетия проблемы, не поддающиеся механистическому подходу молекулярной биологии, стали еще более очевидными. Хотя биологам известна точная структура нескольких генов, они очень туманно представляют, каким образом эти гены взаимодействуют и сотрудничают между собой в ходе развития организма. Другими словами, ученые знают алфавит генетического кода, но не имеют понятия о его синтаксисе. Уже теперь очевидно, что подавляющая часть ДНК — возможно, до 95 % — может быть использована для интегративных функций, о чем биологи, похоже, не догадываются, поскольку они придерживаются механистических моделей.

    Критика системного мышления

    К середине 70-х гг. ограничения молекулярного подхода к пониманию жизни стали очевидны. Биологи, однако, всматриваясь в горизонт, ничего нового там не видели. Чистая наука затмила системное мышление до такой степени, что его даже не рассматривали в качестве жизнеспособной альтернативы. В нескольких критических эссе теория систем фактически признавалась интеллектуальным провалом. Роберт Лилиенфельд, к примеру, завершал свой блестящий труд «Расцвет теории систем», опубликованный в 1978 г., уничтожающей критикой:

    Системные философы не скрывают своего очарования определениями, концептуализациями и программными заявлениями то ли благожелательного, то ли морализаторского толка… Они коллекционируют и описывают аналогии между феноменами из различных областей… что, похоже, доставляет им эстетическое наслаждение, оправдывающее само себя… До сих пор не появилось ни одного свидетельства о том, что системная теория была использована для решения хотя бы одной значительной проблемы хотя бы в одной области10.

    Последняя часть этого критического пассажа сегодня определенно несостоятельна, как это будет видно из последующих глав нашей книги, и, пожалуй, она звучала излишне резко даже в 70-е годы. Даже в то время можно было утверждать, что понимание живых организмов как энергетически открытых, но организационно закрытых систем, осознание обратной связи как существенного механизма гомеостаза и кибернетические модели нейронных процессов — вот только три примера, считавшиеся уже тогда установленными фактами, — представляют собой важнейшие достижения в научном понимании жизни.

    Тем не менее Лилиенфельд был прав в том смысле, что ни одна из формальных теорий систем, вроде тех, какие рассматривались Богдановым и Берталанфи, не была успешно применена ни в одной области. Цель Берталанфи — развить свою общую теорию систем в «математическую дисциплину, чисто формальную по сути, но применимую к различным эмпирическим наукам», — безусловно, не была достигнута.

    Главная причина этого «провала» заключалась в отсутствии математического инструментария, соответствующего сложности живых систем. Как Богданов, так и Берталанфи признавали, что в открытых системах одновременное взаимодействие множества переменных формируют паттерны организации, характерные для жизни, но у них не было средств описания возникновения этих паттернов в математической форме. Говоря техническим языком, математика того времени была ограничена линейными уравнениями, которые не годятся для описания в высшей степени нелинейной природы живых систем11.

    Кибернетики, занимаясь нелинейными феноменами петель обратной связи и нейронных сетей, взялись и за разработку соответствующей нелинейной математики; но настоящий прорыв произошел несколько десятилетий спустя и был тесно связан с развитием нового поколения мощных компьютеров.

    Хотя системные подходы, развитые в первой половине столетия, не привели к формальной математической теории, они выработали определенную форму мышления, новый язык, новые понятия и саму интеллектуальную атмосферу, которая способствовала значительным научным достижениям последних лет. Вместо формальной теории систем в 80-е годы появился целый ряд успешных системных моделей, которые описывают разнообразные аспекты явлений жизни. Сегодня именно на основе этих моделей начинает, наконец, зарождаться каркас последовательной теории живых систем и соответствующий ей математический язык.

    Важность паттерна

    Последние успехи в нашем понимании живых систем основываются на двух научных событиях конца 70-х, в те самые годы, когда Лилиенфельд и другие писали критические статьи по поводу системного мышления. Одним из них стало открытие новой математики сложных систем, которая обсуждается в следующей главе. Другим событием было появление мощной новаторской концепции самоорганизации; ее идея в неявном виде сквозит в ранних дискуссиях кибернетиков, но она так и не была четко сформулирована в течение последующих тридцати лет.

    Чтобы понять феномен самоорганизации, необходимо сначала понять важность паттерна. Идея паттерна организации — конфигурации взаимоотношений, характерной для определенной системы, — стала объектом кибернетического системного мышления и с тех пор остается важнейшей концепцией. С системной точки зрения, понимание жизни начинается с понимания паттерна.

    Мы уже видели, что на протяжении всей истории западной науки и Философии существовал конфликт между изучением материи и изучением формы12. Изучение материи начинается с вопроса «Из чего это сделано?»; изучение формы — с вопроса «Как это сделано, каков его паттерн?». Это два очень разных подхода, которые всегда конкурировали друг с другом в нашей научной и философской традиции.

    Изучение материи началось в античной Греции в VI веке до н. э., когда Фалес, Парменид и другие философы спросили: из чего сделана реальность? каковы первичные составляющие материи? в чем ее суть? — ответами на эти вопросы определились разнообразные школы ранней эры греческой философии. Среди них была идея о четырех фундаментальных элементах — земле, воздухе, огне, воде. В новейшее время их — теперь уже химически чистых элементов — насчитывается более ста. Это много, но все же конечное число. Из этих первичных элементов, как полагали, сделана вся материя. Затем Дальтон отождествил элементы с атомами, а с расцветом атомной и ядерной физики в XX столетии роль «кирпичиков» стали играть субатомные частицы.

    Подобным же образом, в биологии базовыми элементами сначала были организмы, или виды, и в XVIII веке биологи разработали сложные классификационные схемы для растений и животных. Затем, с открытием клеток как элементов, общих для всех организмов, фокус сместился от организмов к клеткам. Потом наконец клетка была расщеплена на свои микромолекулы — ферменты, протеины, аминокислоты и т. д., — и молекулярная биология оказалась новым передовым рубежом исследований. Несмотря на все эти усилия, основной вопрос со времен древних греков не изменился: из чего сделана реальность? каковы ее первичные составляющие?

    В то же время, на всем протяжении истории философии и науки постоянно происходило изучение паттерна. Оно начиналось пифагорейцами в Греции, было продолжено алхимиками, поэтами-романтиками и другими разнообразными интеллектуальными течениями. Тем не менее почти всегда изучение паттерна (по сравнению с изучением материи) отодвигалось на задний план, пока бурно не возродилось в наш век, и теперь системные философы признают его достаточно существенным для понимания жизни.

    Я намерен доказать, что путь к созданию всеобъемлющей теории живых систем лежит через синтез этих двух очень разных подходов — изучения материи (или структуры) и изучения формы (или паттерна)' При изучении структуры мы измеряем и взвешиваем вещи. Паттерны, однако, не могут быть измерены или взвешены; они должны быть обозначены, вычерчены. Чтобы понять паттерн, мы должны обозначить конфигурацию взаимоотношений. Другими словами, структура включает количества, тогда как паттерн включает качества.

    Изучение паттерна существенно для понимания живых систем, поскольку системные свойства, как мы видели, обусловлены конфигурацией упорядоченных взаимоотношений13. Системные свойства — это свойства паттерна. То, что разрушается, когда организм разнимается на части, — это и есть его паттерн. Компоненты все присутствуют, но конфигурация взаимоотношений между ними — паттерн — разрушена, и поэтому организм погибает.

    Большинство ученых-редукционистов не могут оценить критику редукционизма, потому что им не удается понять важность паттерна. Они утверждают, что все живые организмы, в конечном счете, сотворены из таких же атомов и молекул, какие являются компонентами неорганической материи, и что законы биологии в таком случае можно свести к законам физики и химии. Хотя все живые организмы в конечном счете состоят из атомов и молекул, они отнюдь не являются только атомами и молекулами. Есть в жизни еще нечто нематериальное, не поддающееся упрощению — паттерн организации.

    Сети — паттерны жизни

    Оценив важность паттерна для понимания жизни, мы теперь можем спросить: существует ли общий паттерн организации, который можно обнаружить во всех живых системах? Далее мы увидим, что в этом как раз и заключается суть проблемы. Этот паттерн организации, общий для всех живых систем, будет подробно обсуждаться ниже14. Его наиболее важное свойство заключается в том, что это сетевой паттерн. Встречаясь с живыми системами — организмами, частями организмов или сообществами организмов, — мы можем заметить, что все их компоненты объединены между собой по сетевому принципу. Окидывая взором жизнь, мы всегда видим сети.

    Признание этого пришло в науку в 20-е годы, когда экологи начали Изучать пищевые паутины. Вскоре после этого, признавая сеть как общий паттерн жизни, системные философы распространили сетевые мо-Дели на все системные уровни. Кибернетики, в частности, пытались понять мозг как нейронную сеть и разработали специальный математически аппарат для анализа ее паттернов. Структура человеческого мозга чрезвычайно сложна. Она содержит около 10 миллиардов нервных клеток (нейронов), которые связаны друг с другом через 1000 миллиардов узлов (синапсов), образуя обширную сеть. Весь мозг может быть разделен на автономные участки, или подсети, которые взаимодействуют друг с другом в сетевом режиме. Все это приводит к сложным паттернам переплетенных паутин, сложных сетей, вложенных в еще более крупные сети15.

    Первое и наиболее очевидное свойство любой сети — ее нелинейность: сеть нелинейна по всем направлениям. Поэтому и взаимоотношения в сетевом паттерне нелинейны. В частности, воздействие, или сообщение, может следовать по круговой траектории, которая становится петлей обратной связи. Понятие обратной связи тесно связано с паттерном сети16.

    Поскольку сети могут содержать в себе петли обратной связи, постольку они приобретают способность регулировать самих себя. Например, сообщество, которое поддерживает активную сеть связи, будет учиться на своих ошибках, потому что последствия ошибки распространяются по сети и возвращаются к источнику по петле обратной связи. Таким образом, сообщество может исправлять свои ошибки, регулировать себя и организовывать себя. Действительно, идея самоорганизации возникла как, возможно, центральная концепция системного мировоззрения и, подобно концепциям обратной связи и саморегуляции, тесно связана с сетями. Мы могли бы сказать, что паттерн жизни — это сетевой паттерн, способный к самоорганизации. Это простое определение, но оно основано на последних открытиях, сделанных на переднем фронте науки.

    Появление концепции самоорганизации

    Концепция самоорганизации возникла уже в первые годы кибернетики, когда ученые начали разрабатывать математические модели, представляющие логику, свойственную нейронным сетям. В 1943 г. нейробиолог Уоррен Мак-Каллок и математик Уолтер Питтс опубликовали новаторскую статью, озаглавленную «Логическое исчисление идей, присущих нервной деятельности»., в которой показали, что логика любого физиологического процесса, любого поведения может быть трансформирована в правила для построения сети17.

    Авторы представили идеализированные нейроны в виде двоичных переключателей — элементов, которые могут находиться в одном из состояний «вкл» или «выкл», — и дали модель нервной системы как сложной сети этих двоичных переключателей. В сети Мак-Каллока-Пит-тса узлы «вкл-выкл» связаны друг с другом таким образом, что активность каждого узла управляется предыдущей активностью других узлов в соответствии с некоторым «правилом переключения». Например, данный узел может в следующий момент переключиться во «вкл» только в случае, если определенное количество смежных с ним узлов находятся в этот момент в положении «вкл». Мак-Каллоку и Питтсу удалось показать, что, хотя двоичные сети такого рода — лишь упрощенные модели, они являются хорошим приближением сетей, составляющих нервную систему.

    В 50-е годы ученые начали строить реальные модели таких двоичных сетей; некоторые из моделей содержали в узлах маленькие лампочки, то зажигающиеся, то гаснущие в соответствии с состоянием узла. К великому удивлению ученых, в большинстве цепей после короткого периода беспорядочного мерцания возникали некоторые упорядоченные паттерны. Можно было видеть, как по сети проходили волны мерцания или же наблюдались повторяющиеся циклы. Даже в том случае, когда начальное состояние сети выбиралось произвольно, в ней через некоторое время спонтанно возникали упорядоченные паттерны, и именно это спонтанное возникновение порядка стало известно как самоорганизация.

    Как только этот многообещающий термин появился в литературе, системные философы стали широко использовать его в различных контекстах. Росс Эшби в одной из своих ранних работ, вероятно, впервые описал нервную систему как «самоорганизующуюся»18. Физик и кибернетик Хайнц фон Форстер сыграл роль главного катализатора идеи самоорганизации в конце 50-х, организуя конференции по этой теме, оказывая финансовую помощь многим участникам и публикуя их статьи19.

    В течение двух десятилетий Форстер поддерживал междисциплинарную группу, созданную при Университете Иллинойса для изучения самоорганизующихся систем. Она называлась Лабораторией биокомпьютеров и представляла собой тесный круг друзей и коллег, которые работали вдалеке от редукционистского направления и чьи идеи, опережающие время, широко не публиковались. Тем не менее эти идеи стали семенами, из которых в конце 70-х и в 80-е годы выросло множество удачных моделей самоорганизующихся систем.

    Сам Хайнц фон Форстер внес свой вклад в теоретическое понимание самоорганизации гораздо раньше. Его исследования касались понятия порядка. Он задался вопросом: существует ли мера порядка, которую можно было бы использовать для оценки увеличения порядка, обусловленного «организацией»? Для решения этой проблемы Форстер использовал концепцию «избыточности», оформленную математически в рамках теории информации Клодом Шэнноном; избыточность и есть мера относительного порядка системы по отношению к изначальному максимальному беспорядку20.

    Позже этот подход был вытеснен новой математикой сложных систем, однако в конце 50-х он позволил Форстеру разработать первую качественную модель самоорганизации в живых системах. Он ввел выражение «порядок из шума», подчеркнув тем самым, что самоорганизующаяся система не просто «импортирует» порядок из своего окружения, но отбирает богатую энергией материю, интегрирует ее в свою структуру и таким способом повышает уровень собственного внутреннего порядка.

    В течение 70-х и 80-х годов ключевые идеи этой ранней модели были усовершенствованы и развиты исследователями из многих стран; феномен самоорганизации в разнообразных системах, от микроскопических до очень крупных, изучали Илья Пригожий в Бельгии, Герман Хакен и Манфред Эйген в Германии, Джеймс Лавлок в Англии, Линн Маргулис в США, Умберто Матурана и Франциско Варела в Чили21. Все полученные ими модели самоорганизующихся систем обладают некоторыми очень важными общими характеристиками, которым предстоит стать фундаментом единой теории живых систем; очерк такой теории и предлагается к обсуждению в этой книге.

    Первое важное отличие между изначальной концепцией самоорганизации в кибернетике и более сложными поздними моделями состоит в том, что последние предусматривают создание новых структур и новых режимов поведения в ходе процесса самоорганизации. Для Эшби все возможные структурные изменения происходят в рамках «резерва разнообразия» структур, а шансы на выживание системы зависят от богатства или «необходимого разнообразия» этого резерва. Здесь не существует ни творчества, ни развития, ни эволюции. Поздние модели, напротив, включают создание новых структур и режимов поведения в процессе развития, обучения и эволюции.

    Вторая общая для этих моделей самоорганизации особенность заключается в том, что все они представляют открытые системы, функционирующие вдали от состояния равновесия. Для того чтобы осуществлялась самоорганизация, необходим непрерывный поток материи и энергии сквозь систему. Удивительное внезапное зарождение новых структур и новых форм поведения — самое важное отличительное свойство самоорганизации — возможно только при том условии, что система далека от равновесия.

    Третья особенность самоорганизации, тоже общая для всех моделей, — нелинейная взаимосвязанность компонентов системы. Физически этот нелинейный паттерн выражается в появлении петель обратной связи; математически он описывается нелинейными уравнениями.

    Суммируя эти три характеристики самоорганизующихся систем, можно сказать, что самоорганизация — это спонтанное зарождение новых структур и новых форм поведения в далеких от состояния равновесия открытых системах, которое характеризуется появлением внутренних петель обратной связи и математически описывается нелинейными уравнениями.

    Диссипативные структуры

    Первым и, вероятно, наиболее впечатляющим подробным описанием самоорганизующихся систем стала теория диссипативных структур химика и физика Ильи Пригожина, русского по рождению, Нобелевского лауреата и профессора химии в Свободном Университете в Брюсселе. Пригожий разработал свою теорию на основе изучения физических и химических систем, но, согласно его собственным воспоминаниям, к этому его побудили размышления над природой жизни:

    Меня чрезвычайно интересовала проблема жизни… Я всегда думал, что само существование жизни говорит нам нечто очень важное о природе22.

    Наибольший интерес у Пригожина вызывал тот факт, что живые организмы способны поддерживать свою жизнь в условиях неравновесия. Он увлекся системами, далекими от теплового равновесия, и начал интенсивные исследования, задавшись целью определить точные условия, при которых неравновесные состояния могут быть устойчивыми.

    Радикальный прорыв Пригожий осуществил в начале 60-х, когда понял что системы, далекие от равновесия, должны описываться нелинейными уравнениями. Четкое понимание связи между отдаленностью от равновесия и нелинейностью позволило Пригожину уловить направление исследований, кульминацией которых десятилетие спустя стала его теория самоорганизации.

    Решая загадку устойчивости вдали от равновесия, Пригожий не стал изучать живые системы, а обратился к гораздо более простому феномену тепловой конвекции, который теперь известен как неустойчивость Бенара и считается классическим случаем самоорганизации. В начале века французский физик Анри Бенар обнаружил, что подогрев тонкого слоя жидкости может привести к образованию странным образом упорядоченных структур. Когда жидкость равномерно подогревается снизу, устанавливается непрерывный тепловой поток, направленный снизу вверх. Сама жидкость остается неподвижной, действует только теплопроводность. Тем не менее когда разность температур между нижней и верхней поверхностью достигает определенного критического значения, тепловой поток сменяется тепловой конвекцией, при которой тепло передается через последовательное движение огромного количества молекул.

    В этот момент возникает поразительный упорядоченный паттерн шестиугольных ячеек («медовых сот»), в которых горячая жидкость поднимается вверх по центру ячеек, в то время как более холодная опускается вниз вдоль стенок ячеек (рис. 5–1).



    Рис. 5–1.

    Паттерн шестиугольных бенаровских ячеек в цилиндрическом контейнере, вид сверху. Диаметр контейнера равен приблизительно 10 см, глубина жидкости около 0,5 см. Пример взят из Berge (1981)

    Подробный анализ Пригожиным бенаровских ячеек показал, что, удаляясь от состояния равновесия (т. е. от состояния с равномерной температурой по всему объему жидкости), система в итоге достигает критической точки неустойчивости, в которой возникает упорядоченный гексагональный паттерн23.

    Неустойчивость в опыте Бенара представляет собой яркий пример спонтанной самоорганизации. Неравновесное состояние, поддерживаемое непрерывным потоком тепла через систему, генерирует сложный пространственный паттерн, в котором миллионы молекул движутся последовательно, формируя шестиугольные конвекционные ячейки. Более того, бенаровские ячейки не ограничены лабораторными экспериментами, они встречаются и в природе при самых разнообразных условиях. Например, поток теплого воздуха, идущий от поверхности земли вверх, может образовывать завихрения в виде шестиугольников, которые оставляют свои отпечатки на песчаных барханах в пустыне и в снежных полях Арктики24.

    Еще один впечатляющий пример самоорганизации, подробно изученный Пригожиным и его коллегами в Брюсселе, представляют так называемые «химические часы». Это реакции, далекие от химического равновесия, в которых наблюдаются поразительные периодические колебания25. Например, если в реакции участвует два типа молекул, «красные» и «синие», то в определенный момент весь раствор приобретает синий цвет; потом он резко меняет цвет на красный, затем снова синеет, и далее это происходит с регулярными интервалами. Различные экспериментальные условия также могут вызывать волны химической активности (рис. 5–2).



    Рис. 5–2.

    Волноподобная химическая активность в так называемой реакции Белоусова-Жаботинского. Взято из Prigogine (1980)

    Чтобы мгновенно менять цвет, химическая система должна вести себя как целое и проявлять высокую степень упорядоченности через синхронное поведение миллиардов молекул. Пригожий и его коллеги обнаружили, что, как и при бернаровской конвекции, это синхронное поведение возникает спонтанно в далеких от равновесия критических точках неустойчивости.

    В 60-е годы Пригожий разработал новую нелинейную термодинамику для описания феномена самоорганизации в далеких от равновесия открытых системах. «Классическая термодинамика, — поясняет он, — приводит к понятию системы в состоянии равновесия, такой, как, например, кристалл. Ячейки Бернара — это тоже структуры, но совершенно другой природы. Вот почему мы ввели понятие диссипативных структур — в таких ситуациях оно подчеркивает тесную связь, парадоксальную на первый взгляд, между структурой и порядком, с одной стороны, и диссипацией (рассеянием)… с другой»26. В классической термодинамике рассеяние энергии при передаче тепла, при трении и т. п. всегда связывалось с потерями. Пригожинская концепция диссипативной структуры внесла радикальные перемены в этот подход, показав, что в открытых системах рассеяние энергии становится источником порядка.

    В 1967 году Пригожин впервые представил свою концепцию диссипативных структур в лекции на Нобелевском симпозиуме в Стокгольме27, а четыре года спустя он опубликовал первую формулировку полной теории вместе со своим коллегой, Полом Глансдорфом28. По теории Пригожина, диссипативные структуры не только поддерживают себя в далеком от равновесия устойчивом состоянии, но могут даже развиваться. Когда поток энергии и материи, пронизывающий их, нарастает, они могут пройти через новые состояния неустойчивости и трансформироваться в новые структуры повышенной сложности.

    Выполненный Пригожиным подробный анализ этого поразительного феномена показал, что если диссипативные структуры получают энергию извне, то неустойчивость и скачки новых форм организации являются результатом флюктуации, усиленных петлями положительной обратной связи. Таким образом, усиливающая обратная связь «вразнос», которая всегда считалась разрушительной в кибернетике, оказывается источником нового порядка и сложности в теории диссипативных структур.

    Теория лазеров

    В начале 60-х, в то самое время, когда Илья Пригожий осознал критическую важность нелинейности для описания самоорганизующихся систем, родственное открытие сделал и Герман Хакен в Германии, изучая физику недавно изобретенных лазеров. В лазере при определенных специальных условиях происходит переход от обычного света лампы, состоящего из некогерентной (неупорядоченной) смеси световых волн различных частот и фаз, к когерентному лазерному свету, состоящему из однородного непрерывного монохроматического излучения.

    Высокая когерентность лазерного света достигается координацией эмиссии света от отдельных атомов в лазере. Хакен понял, что эта скоординированная эмиссия, ведущая к спонтанному возникновению когерентности, или порядка, является процессом самоорганизации и что для того, чтобы верно описать его, требуется нелинейная теория. «В те дни я много спорил с несколькими американскими теоретиками, — вспоминает Хакен, — которые тоже работали над лазерами, но в рамках линейной теории. Они не понимали, что в точке перехода происходит нечто качественно новое»29.

    Когда был открыт лазерный феномен, его интерпретировали как процесс усиления, который Эйнштейн описал еще на заре квантовой теории. Атомы излучают свет, когда они «возбуждены», т. е. когда их электроны поднимаются на более высокие орбиты. Через некоторое время электроны спонтанно возвращаются на низшие орбиты и при этом излучают энергию в виде элементарных световых волн. Луч обычного света состоит из неупорядоченной смеси этих элементарных волн, излучаемых атомами.

    При особых условиях, однако, проходящая световая волна может «стимулировать», или, как называл это Эйнштейн, «индуцировать», возбужденный атом так, что он, излучая энергию, усиливает световую волну — Эта усиленная волна, в свою очередь, может стимулировать другой атом к ее дальнейшему усилению, и в конце концов все это приводит к лавинообразному усилению. Этот результирующий феномен был назван усилением света через стимуляцию излучения, откуда возникла и английская аббревиатура ЛАЗЕР.

    Недостаток этого представления заключался в том, что различные атомы в лазерном материале одновременно генерируют различные некогерентные между собой световые лавины. Тогда каким образом, спрашивал Хакен, эти неупорядоченные волны объединяются и формируют единую последовательность когерентных волн? Ответ был найден, когда Хакен понял, что лазер представляет собой систему множества частиц, далекую от теплового равновесия30. Ее необходимо «накачивать» извне, чтобы возбудить атомы, которые затем излучают энергию. Таким образом, через эту систему проходит непрерывный поток энергии.

    Интенсивно изучая этот феномен в 60-е годы, Хакен обнаружил несколько параллелей с другими далекими от равновесия системами; это навело его на мысль о том, что переход от нормального света к лазерному может служить примером процесса самоорганизации, типичного для далеких от равновесия систем31.

    Тогда Хакен ввел термин синергетика, чтобы выразить потребность в новой области систематического изучения процессов, в которых совместные действия отдельных частей, таких как атомы лазера, обусловливают согласованное поведение целого. В интервью, данном в 1985 году, Хакен пояснял:

    В физике существует понятие «согласованные эффекты»; но оно применяется, главным образом, к системам, находящимся в тепловом равновесии… Я чувствовал, что должен ввести термин для согласованности в системах, далеких от теплового равновесия… Я хотел подчеркнуть, что нам требуется новая дисциплина для описания этих процессов… Итак, синергетику можно рассматривать как науку, имеющую дело, возможно не исключительно, с феноменом самоорганизации32.

    В 1970 г. Хакен опубликовал полную версию своей нелинейной лазерной теории в престижной немецкой физической энциклопедии «HandbuchderPhysik»33. Рассматривая лазер как далекую от равновесия самоорганизующуюся систему, он показал, что она входит в лазерный режим, когда интенсивность внешней накачки достигает определенной критической величины. Благодаря специальному устройству зеркал, расположенных на противоположных концах лазерного резонатора, только свет, излучаемый в направлении, близком к лазерной оси, может оставаться в резонаторе в течение времени, достаточного для возникновения процесса усиления, в то время как другие последовательности волн устраняются.

    Теория Хакена с очевидностью показывает, что, хотя лазеру требуется энергетическая подкачка извне, чтобы он оставался в состоянии, далеком от равновесия, координация эмиссий осуществляется самим лазерным светом: это процесс самоорганизации. Таким образом, Хакен независимо пришел к точному описанию феномена самоорганизации, подобного тому, который Пригожин назвал бы диссипативной структурой.

    Предсказания лазерной теории были подтверждены с большой точностью, и, благодаря новаторской работе Германа Хакена, лазер стал важным инструментом в изучении самоорганизации. На торжественном симпозиуме, посвященном шестидесятилетию Хакена, его сотрудник Роберт Грэм весьма выразительно оценил его работу:

    Великий вклад Хакена в науку состоит в том, что он понял, что лазеры являются не только исключительно важным технологическим инструментом, но и сами по себе представляют интереснейшие физические системы, что может научить нас многому… Лазеры занимают очень важную позицию между квантовым и классическим миром, и теория Хакена объясняет нам, как могут быть связаны между собой эти миры… Лазер можно рассматривать как перекресток между квантовой и классической физикой, между равновесными и неравновесными явлениями, между фазовыми переходами и самоорганизацией, а также между регулярной и хаотической динамикой. В то же время, это система, которую мы понимаем как на микроскопическом квантовомеханическом уровне, так и на макроскопическом классическом. Это устойчивая основа для изучения общих концепций неравновесной физики34.

    Гиперциклы

    В то время как Пригожин и Хакен изучали феномен самоорганизации, исследуя физические и химические системы, которые проходят через точки неустойчивости и образуют новые формы порядка, биохимик Манфред Эйген применил ту же концепцию, пытаясь пролить свет на тайну происхождения жизни. Согласно традиционной версии теории Дарвина, живые организмы выделились из «молекулярного хаоса» случайно, в процессе беспорядочных мутаций и естественного отбора. Тем не менее многие ученые отмечали, что вероятность такого возникновения даже простейших клеток за обозримый период развития Земли фактически равна нулю.

    Манфред Эйген, нобелевский лауреат и директор Института физической химии имени Макса Планка в Гёттингене, в начале 70-х предположил, что возникновение жизни на Земле стало возможным благодаря процессу нарастающей организации в далекой от равновесия химической системе, с образованием гиперциклов многочисленных петель обратной связи. Фактически Эйген постулировал добиологическую фазу эволюции, в ходе которой в молекулярном мире происходят процессы отбора, выражающие «свойства вещества в особых системах реакций»35, и ввел понятие молекулярной самоорганизации для описания этих добиологических эволюционных процессов36.

    Особые системы реакций, которые изучал Эйген, известны как каталитические циклы. Катализатор служит веществом, которое повышает скорость химической реакции, но само при этом не изменяется. Каталитические реакции — важнейшие процессы в химии жизни. Наиболее распространенными и эффективными катализаторами являются ферменты, или энзимы, — существенные компоненты клеток, способствующие жизненно важным метаболическим процессам.

    Когда Эйген и его коллеги в 60-е годы изучали каталитические реакции с участием ферментов, они заметили, что в далеких от равновесия биохимических системах, т. е. системах, пронизанных энергетическими потоками, различные каталитические реакции объединяются, формируя сложные сети, в которых могут содержаться и замкнутые циклы. На рис. 5–3 приведен пример такой каталитической сети, когда 15 ферментов ускоряют формирование друг друга таким образом, что образуется замкнутый, или каталитический, цикл.

    Эти каталитические циклы лежат в основе самоорганизующихся химических систем, подобных химическим часам, исследованным Пригожиным; кроме того, они играют существенную роль в метаболических функциях живых организмов. Они замечательным образом устойчивы и выдерживают широкий диапазон условий38. Эйген установил, что в условиях достаточного времени и непрерывного потока энергии каталитические циклы обнаруживают тенденцию к сцеплению, формируя замкнутые петли, в которых ферменты, созданные в одном цикле, служат катализаторами в последующем цикле. Он ввел термин «гиперциклы» для тех петель, в которых каждый узел представляет собой каталитический цикл.

    Оказывается, что гиперциклы проявляют не только замечательную устойчивость, но также и способность к самовоспроизведению и коррекции ошибок при воспроизведении. А это означает, что они могут хранить и передавать сложную информацию. Теория Эйгена показывает, что такое самовоспроизведение — конечно, хорошо известное в мире живых организмов — могло происходить в химических системах задолго до появления жизни, до образования генетической структуры. Химические гиперциклы, таким образом, являются самоорганизующимися системами, которые, строго говоря, нельзя назвать «живыми», поскольку у них отсутствуют некоторые ключевые характеристики жизни. Тем не менее их можно рассматривать в качестве прототипов живых систем. Урок, который можно извлечь из этого, по-видимому, заключается в том, что корни жизни берут начало в мире неживой материи.

    Одно из наиболее поразительных «жизнеподобных» свойств гиперциклов состоит в том, что они могут развиваться, проходя через периоды неустойчивости и последовательно создавая все более высокие уровни организации, которые характеризуются нарастающим разнообразием и богатством компонентов и структур38.



    Рис. 5–3.

    Каталитическая сеть ферментов, включающая замкнутый цикл (Е1 — Е15). Из Eigen (1971)

    Эйген отмечает, что новые гиперциклы, сформированные подобным образом, вполне могут составить конкуренцию естественному отбору, и, описывая весь процесс, он явным образом ссылается на теорию Пригожина: «Возникновение мутаций с преимуществами отбора соответствует определенной неустойчивости, которую можно объяснить с помощью теории… Пригожина и Глансдорфа»39.

    Теория гиперциклов Маифреда Эйгена содержит те же основные концепции самоорганизации, что и теория диссипативных структур Ильи Пригожина и теория лазеров Германа Хакена, а именно: состояние системы, далекое от равновесия; развитие усилительных процессов через петли положительной обратной связи; возникновение неустойчивых состояний, приводящих к образованию новых форм организации. Помимо этого, Эйген совершил революционный переворот, применив дарвиновский подход к описанию эволюционных феноменов на добиологическом, молекулярном уровне.

    Автопоэз — организация живого

    Гиперциклы, изученные Эйгеном, самоорганизуются, самовоспроизводятся и эволюционируют. И все же возникают сомнения, можно ли назвать эти циклы химических реакций «живыми». Какими свойствами, в таком случае, должна обладать система, чтобы ее можно было считать воистину живой? Можем ли мы провести четкое различие между живыми и неживыми системами? В чем конкретно заключается суть связи между самоорганизацией и жизнью?

    Именно эти вопросы в 60-е годы задавал себе чилийский нейробиолог Умберто Матурана. После шести лет учебы и исследований в области биологии, проведенных в Англии и Соединенных Штатах, где он сотрудничал с группой Уоррена Мак-Каллока в Массачусетском технологическом институте и находился под сильным влиянием кибернетиков, в 1960 г. Матурана вернулся в Университет Сантьяго. Там он специализировался в нейробиологии и, в частности, занимался проблемами цветовосприятия.

    В результате этих исследований у Матураны выкристаллизовались два основных вопроса. Он вспоминал позже: «Я попал в ситуацию, когда моя академическая жизнь разделилась — я искал ответы на два вопроса, которые, казалось, ведут в противоположные стороны: Что представляет собой организация живого? Что такое феномен восприятия?»40.

    Почти десять лет Матурана бился над этими вопросами, и его гениальность выразилась в том, что он сумел дать единый ответ на оба. Тем самым он открыл возможность объединить две традиции системного мышления, которые сосредоточились на противоположных сторонах картезианского разделения. Организменные биологи исследовали природу биологической формы, а кибернетики пытались понять природу разума. В конце шестидесятых Матурана осознал, что разгадка обеих этих головоломок лежит в понимании «организации живого».

    Осенью 1968 г. Хайнц фон Форстер пригласил Матурану принять участие в работе его междисциплинарной исследовательской группы в Университете Иллинойса, а позже стать участником чикагского симпозиума по обучению. Это была для Матураны идеальная возможность представить свои идеи об обучении как биологическом феномене41. В чем же состояло основное открытие Матураны? По его собственным словам:

    Мои исследования цветовосприятия привели меня к открытию, которое было чрезвычайно важно для меня: нервная система функционирует как замкнутая сеть интеракций (взаимодействий), в которой каждое изменение интерактивных отношений между определенными компонентами всегда приводит к изменению интерактивных отношений в тех же или в других компонентах42.

    Матурана вывел из своего открытия два заключения, которые и дали ему ответы на два его главных вопроса. Он сформулировал гипотезу о том, что круговая организация нервной системы является базовой организацией для всех живых систем: «Живые системы… организованы в замкнутый причинный круговой процесс, что обеспечивает возможность эволюционных изменений способа поддержания кругообразности, но без потери при этом самой кругообразности»43.

    Поскольку все изменения в системе происходят в рамках этой базовой кругообразности, утверждает Матурана, то компоненты, которые определяют данную круговую организацию, должны формироваться и Поддерживаться ею же. И он делает заключение, что такой сетевой паттерн, в котором функция каждого компонента состоит в том, чтобы помочь произвести и трансформировать другие компоненты, одновременно поддерживая общую кругообразность сети, и является основной организацией живого.

    Второе заключение, которое Матурана вывел из круговой замкнутости нервной системы, привело к радикально новому пониманию обучения. Он постулировал, что нервная система не только сама организуется, но и постоянно сама на себя ссылается, поэтому восприятие не может рассматриваться как представление внешней реальности, но должно быть понято как непрерывное создание новых взаимоотношений внутри нейронной сети: «Деятельность нервных клеток не отражает окружающую среду, независимую от живого организма, и, следовательно, не позволяет конструировать абсолютно существующий внешний мир»44.

    Согласно Матуране, восприятие, а в более общем смысле познание, не представляет внешнюю реальность, а скорее определяет [specify] через процесс круговой организации нервной системы. На основе этой предпосылки Матурана затем делает важный шаг, утверждая, что процесс круговой организации как таковой — связанный или не связанный с нервной системой — идентичен процессу познания:

    Живые системы — это когнитивные системы, а жизнь — процесс познания. Это утверждение справедливо для всех организмов, с нервной системой или без нее45.

    Такой способ идентификации познания с процессом самой жизни — действительно радикально новая концепция. Ее многообещающие следствия будут подробно обсуждены ниже46.

    Опубликовав свои идеи в 1970 г., Матурана начал длительную совместную работу с Франциско Вареной, молодым нейробиологом из университета в Сантьяго. Варела был студентом Матураны, прежде чем стал его сотрудником. По свидетельству Матураны, сотрудничество началось тогда, когда Варела в частной беседе бросил вызов мэтру, предложив ему найти более формальное и более полное описание концепции круговой организации47. Они немедленно принялись за работу над полным словесным описанием идеи Матураны, отложив попытки создать математическую модель, и начали они с изобретения названия для нее — автопоэз.

    Авто-, конечно, означает «само-» и относится к автономии самоорганизующихся систем; а поэз имеет тот же греческий корень, что и «поэзия», и означает «созидание». Итак, автопоэз означает «самосозидание».

    Поскольку они изобрели новое слово, не имеющее предыдущей истории, его было удобно использовать как отличительный технический термин именно для организации живых систем. Два года спустя Матурана и Варела опубликовали свое первое описание автопоэза в объемном эссе48, а к 1974 г. они вместе со своим коллегой Рикардо Урибе разработали соответствующую математическую модель для простейшей системы автопоэза, живой клетки49.

    Матурана и Варела начинают эссе об автопоэзе с того, что определяют свой подход как «механистический» — чтобы отмежевать его от виталистических подходов к природе жизни: «Наш подход будет механистическим: никакие силы или принципы, не присутствующие в физической вселенной, не будут привлечены». Однако следующее же предложение сразу отчетливо показывает, что авторы не картезианские механицисты, но системные философы:

    И все же наша проблема — живая организация, поэтому наши интересы будут лежать не в области свойств компонентов, но в сфере процессов и связей между процессами, которые осуществляются через компоненты50.

    Далее они уточняют свою позицию, вводя важное различие между организацией и структурой; это различие подразумевалось в течение всей истории системного мышления, но в явном виде к нему не обращались, пока не началось развитие кибернетики51. Матурана и Варела делают различие кристально чистым. Организация живой системы, как они поясняют, представляет собой набор связей между ее компонентами, который определяет принадлежность системы к определенному классу (например, бактериям, подсолнечникам, кошкам или человеческому мозгу). Описание такой организации — это абстрактное описание взаимоотношений, оно не определяет компоненты. Авторы предполагают, что автопоэз — это всеобщий паттерн организации, одинаковый для всех живых систем, независимо от природы их компонентов.

    Структура живых систем, наоборот, слагается из реальных отношений между физическими компонентами. Другими словами, структура системы представляет собой физическое воплощение ее организации. Матурана и Варела подчеркивают, что организация системы не зависит От свойств ее компонентов, так что данная организация может быть воплощена множеством разных способов на основе множества разных типов компонентов.

    Подчеркнув, что их интересует организация, а не структура, авторы продолжают далее определять автопоэз как организацию, общую для всех живых систем. Это сеть процессов производства, в которой функция каждого компонента состоит в том, чтобы участвовать в производстве или трансформации других компонентов сети. Таким образом, вся сеть непрерывно «делает себя». Она производится своими компонентами и, в свою очередь, производит эти компоненты. «В живой системе, — поясняют авторы, — продуктом ее функционирования является ее же организация»52.

    Важная особенность живых систем заключается в том, что их автопоэзная организация включает создание границы, которая обозначает сферу операций сети и определяет систему как единое целое. Авторы указывают, что каталитические циклы, в частности, не образуют живых систем, поскольку их граница предопределяется факторами (например, физическим сосудом), не зависящими от каталитических процессов.

    Интересно отметить, что примерно за десять лет до того, как Матурана впервые опубликовал свои идеи, физик Джефри Чу сформулировал свою так называемую «гипотезу бутстрапа», касающуюся состава и взаимодействия субатомных частиц, — она звучит почти так же, как концепция автопоэза53. Согласно Чу, сильновзаимодействующие частицы, или адроны, формируют сеть взаимодействий, в которой «каждая частица помогает генерировать другие частицы, которые, в свою очередь, генерируют ее»54.

    Тем не менее, существует два кардинальных различия между адронным бутстрапом и автопоэзом. Адроны являются потенциальными пограничными состояниями друг друга в вероятностном смысле квантовой теории, что неприложимо к организации живого. Более того, сеть субатомных частиц, взаимодействующих через высокоэнергетические столкновения, не может быть признана автопоэзной, поскольку она не образует никакой границы.

    Согласно Матуране и Вареле, концепция автопоэза необходима и достаточна для характеристики организации живых систем. Однако эта характеристика не содержит никакой информации о физическом составе компонентов системы. Для понимания свойств компонентов и их физических взаимодействий абстрактное описание организации системы должно быть дополнено описанием структуры системы на языке физики и химии. Ясное различение этих двух описаний — одного в терминах структуры и другого в терминах организации — позволяет объединить структуро-ориентированные модели самоорганизации (например, Пригожина и Хакена) и организационно-ориентированные модели (например, Эйгена и Матураны-Варелы) в согласованную теорию живых систем55.

    Гайя — живая Земля

    Ключевые идеи, лежащие в основе описанных выше разнообразных моделей самоорганизующихся систем, выкристаллизовались в течение нескольких лет в начале 60-х: в Соединенных Штатах Хайнц фон Форстер собрал свою междисциплинарную исследовательскую группу и проводил конференции по самоорганизации; в Бельгии Илья Пригожий осознал принципиальную связь между неравновесными системами и нелинейностью; в Германии Герман Хакен разработал теорию лазера, а Манфред Эйген исследовал каталитические циклы; в Чили Умберто Матурана бился над разгадкой организации живых систем.

    В это же время специалист по химии атмосферы Джеймс Лавлок пришел к блестящей догадке, а затем и к формулированию модели, которая, вероятно, является наиболее поразительным и красивым выражением самоорганизации: планета Земля как целое представляет собой живую, самоорганизующуюся систему.

    Истоки смелой гипотезы Лавлока можно отыскать в самых первых этапах космической программы НАСА. Хотя идея живой Земли существовала еще в древности и умозрительные теории о планете как живой системе формулировались неоднократно56, только первые космические полеты в начале 60-х позволили человеческим существам впервые реально взглянуть на свою планету со стороны и воспринять ее как единое Целое. Вид Земли во всей ее красе — бело-голубой шар, парящий на фоне глубокой тьмы космоса, — произвел сильнейшее впечатление на космонавтов, и впоследствии они рассказывали, что это событие стало для них великим духовным опытом, который навсегда изменил их отношение к Земле57. Изумительные фотографии, с которыми они вернулись Назад, стали могучим символом глобального экологического движения.

    В то время как космонавты наблюдали планету и восхищались ее красотой, датчики научных приборов изучали из открытого космоса окружающую среду Земли, Луны и других близлежащих планет. В 60-е годы в рамках советских и американских космических программ было запущено более 50 космических спутников, большинство из которых исследовали Луну, но некоторые направлялись и дальше, к Венере и Марсу.

    В это время НАСА пригласила Джеймса Лавлока в Лабораторию реактивных двигателей в Пасадене, Калифорния, с тем, чтобы он принял участие в разработке приборов для обнаружения жизни на Марсе58. План НАСА состоял в том, чтобы послать на Марс космический корабль, который искал бы следы жизни в районе посадки, экспериментально исследуя марсианскую почву. Работая над техническими проблемами конструкции прибора, Лавлок задавал себе более общий вопрос: «Как мы можем быть уверены в том, что марсианская жизнь, если она там есть, проявится в ответ на тесты, основанные на земном варианте жизни?» В последующие месяцы и годы этот вопрос не покидал его и заставлял глубоко задумываться над природой жизни и способами ее распознания.

    Размышляя над этой проблемой, Лавлок обнаружил, что тот факт, что все живые организмы поглощают энергию и материю и освобождаются от отработанных продуктов, являет собой наиболее обобщенный признак жизни среди всех ему известных. Почти как Пригожий, он подумал, что эту кардинальную характеристику можно выразить математически, на языке энтропии; но затем его рассуждения приняли другое направление. Лавлок предположил, что жизнь на любой планете использовала бы атмосферу и океаны в качестве текучей среды для сырья и отбросов. Поэтому, размышлял он, существует некая возможность обнаружить наличие жизни, проанализировав химический состав атмосферы планеты. Таким образом, если на Марсе есть жизнь, то в марсианской атмосфере должна существовать некая особая комбинация газов, некоторый характерный «узор», который можно обнаружить даже с Земли.

    Потрясающее подтверждение этих соображений пришло, когда Лавлок и его коллега Даен Хичкок начали систематический анализ марсианской атмосферы, используя результаты наблюдений с поверхности Земли и сравнивая их с аналогичными данными для земной атмосферы. Они обнаружили, что химический состав двух этих атмосфер принципиально различен. В то время как в марсианской атмосфере очень мало кислорода, огромные количества углекислого газа (СО2) и совсем нет метана, атмосфера Земли содержит массу кислорода, мизерные объемы СО2 и много метана.

    Лавлок понял, что причина этого специфического атмосферного профиля Марса кроется в том, что на планете, где нет жизни, все возможные химические реакции между газами в атмосфере завершились в очень давние времена. Сегодня никакие химические реакции на Марсе невозможны: в марсианской атмосфере наблюдается полное химическое равновесие.

    Ситуация на Земле совершенно противоположная. Земная атмосфера содержит такие газы, как кислород и метан, которые с большой вероятностью вступают в реакцию, но и сосуществуют в больших пропорциях — получается смесь газов, далекая от химического равновесия. Лавлок понял, что это особое состояние должно быть обусловлено присутствием жизни на Земле. Растения непрерывно производят кислород, а другие организмы — другие газы, так что объем атмосферных газов постоянно пополняется по мере движения химических реакций. Другими словами, Лавлок обнаружил, что атмосфера Земли является далекой от равновесия открытой системой с непрерывным потоком энергии и материи. Его химический анализ позволил определить отличительный признак жизни.

    Это прозрение пришло к Лавлоку так внезапно, что он навсегда запомнил точный момент его рождения:

    Откровение Гайи пришло ко мне совершенно внезапно — как вспышка просветления. Я находился в маленькой комнате на верхнем этаже здания Лаборатории реактивных двигателей в Пасадене, Калифорния. Это была осень 1965 года… и я обсуждал с коллегой Даеном Хичкоком статью, которую мы вместе готовили… Именно в этот момент я узрел Гайю. Мне в голову пришла потрясающая мысль. Атмосфера Земли представляет собой необычную и неустойчивую смесь газов. Вместе с тем я знал, что ее состав не менялся в течение огромного периода времени. А что если Земля не только сформировала атмосферу, но также и регулировала ее — поддерживая ее постоянный состав, и именно на том уровне, который благоприятен для организмов?59

    Процесс саморегуляции является ключевым в идее Лавлока. Из астрофизики он знал, что, с тех пор как на Земле зародилась жизнь, тепловое излучение Солнца повысилось на 25 % и что, несмотря на это увеличение, температура поверхности Земли оставалась неизменной на уровне благоприятном для жизни, в течение этих четырех миллиардов лет. Что если Земля способна регулировать свою температуру и другие планетарные параметры — состав атмосферы, уровень солености океанов и т. д. — точно так же как живые организмы способны к саморегуляции и поддержанию постоянной температуры и других параметров своего тела? Лавлок понял, что эта гипотеза ведет к разрыву с традиционной наукой:

    Рассматривайте теорию Гайи как альтернативу общепринятой мудрости, которая видит в Земле мертвую планету, состоящую из неодушевленных камней, океана и атмосферы и лишь местами населенную крупицами жизни. Рассматривайте Гайю как реальную систему, в которой вся жизнь в целом и вся окружающая ее среда накрепко связаны воедино и представляют собой саморегулирующуюся сущность60.

    Ученым НАСА открытие Лавлока отнюдь не пришлось по душе. Они разработали впечатляющий цикл экспериментов по обнаружению жизни и связывали его с миссией своего «Викинга» на Марс, а теперь Лавлок рассказывает им, что на самом деле нет никакой необходимости запускать космический корабль на красную планету. Все, что им нужно, — это спектральный анализ марсианской атмосферы, который легко произвести с помощью телескопа с Земли. Неудивительно, что НАСА игнорировала совет Лавлока и продолжала разрабатывать программу «Викинг». Их корабль достиг Марса несколько лет спустя и, как и предсказывал Лавлок, не обнаружил там следов жизни.

    В 1969 году Лавлок впервые представил свою гипотезу Земли как саморегулирующейся системы на научном семинаре в Принстоне61. Вскоре после этого его друг, писатель, понимая, что идея Лавлока возрождает мощный древний миф, предложил название Гайя-гипотеза в честь греческой богини Земли. Лавлок с радостью принял предложение и в 1972 году опубликовал первую обширную версию своей идеи в статье под названием «Гайя: взгляд сквозь атмосферу»62.

    В те времена Лавлок еще не имел представления о том, каким образом Земля может регулировать температуру и состав своей атмосферы. Он понимал только, что в саморегулирующие процессы должны быть вовлечены организмы, населяющие биосферу. Он не знал, какие газы производят те или иные организмы. Но в это же самое время американский микробиолог Линн Маргулис изучала именно те процессы, которые Лавлоку было необходимо понять, — производство и удаление газов различными организмами, включая, в частности, мириады бактерий в почве Земли. Маргулис вспоминает, как ее неотступно преследовал вопрос: «Почему все согласны с тем, что атмосферный кислород… происходит от жизненных процессов, но никто не говорит о других атмосферных газах, исходящих от жизни?»63 Вскоре некоторые из ее коллег посоветовали ей поговорить с Джеймсом Лавлоком; с этого началось долгое и плодотворное сотрудничество, которое вылилось в полновесную научную Гайя-гипотезу.

    Оказалось, что научные убеждения и профессиональные сферы интересов Джеймса Лавлока и Линн Маргулис идеально дополняют друг друга. Маргулис без затруднений отвечала на многочисленные вопросы Лавлока по поводу биологического происхождения атмосферных газов, в то время как Лавлок вносил в зарождающуюся теорию Гайи концепции из химии, термодинамики и кибернетики. Таким образом двое ученых постепенно смогли определить сложную сеть петель обратной связи, которая — как они предполагали — осуществляет саморегуляцию планетарной системы.

    Выдающаяся особенность этих петель обратной связи заключается в том, что они связывают воедино живые и неживые системы. Мы теперь уже не можем думать о камнях, животных и растениях как об изолированных сущностях. Теория Гайи показывает, что существует тесная взаимосвязь между живыми частями планеты — растениями, микроорганизмами и животными — и ее неживыми составляющими — камнями, океанами и атмосферой.

    Цикл углекислого газа хорошо иллюстрирует это положение64. В течение миллионов лет вулканы Земли извергли в атмосферу колоссальные массы углекислого газа (СО2). Поскольку СО2— один из важнейших газов, создающих тепличный эффект, Гайе приходится выкачивать его из атмосферы, иначе температура для жизни будет слишком высокой. Растения и животные перерабатывают огромные количества СО2 в ходе процессов фотосинтеза, дыхания и разложения. Тем не менее эти обмены всегда сбалансированы и не влияют на уровень СО2 в атмосфере. Согласно теории Гайи, избыток углекислого газа в атмосфере удаляется и перерабатывается гигантской петлей обратной связи, в которую в качестве важнейшей составляющей входит эрозия горных пород.

    В процессе эрозии компоненты горных пород соединяются с дождевой водой и углекислым газом, формируя различные химические соединения, именуемые карбонатами (углекислыми солями). Благодаря этому СО2 изымается из атмосферы и связывается в жидких растворах. Это Чисто химические процессы, не требующие участия жизни. Тем не менее Лавлок и другие обнаружили, что присутствие почвенных бактерий значительно ускоряет эрозию пород. В определенном смысле почвенные бактерии действуют как катализатор процесса эрозии, и весь цикл обращения углекислого газа можно рассматривать как биологический эквивалент каталитических циклов, изученных Манфредом Эйгеном.

    Затем карбонаты смываются в океан, где крошечные водоросли, невидимые невооруженным глазом, поглощают их и используют для построения изящных меловых (карбонат кальция) раковин. Итак, СО2, который был в атмосфере, теперь оказывается в раковинах этих мельчайших водорослей (рис. 5–4). Кроме того, океанические водоросли поглощают углекислый газ и непосредственно из воздуха.



    Рис. 5–4. Океаническая водоросль (кокколитофора) с меловой раковиной

    Когда водоросли умирают, их раковины оседают на океанское дно, где образуют массивные отложения известняка (другой формы карбоната кальция). Обладая громадным весом, эти известняковые отложения постепенно погружаются в мантию Земли и плавятся, порой даже вызывая сдвиги тектонических пластов. В конце концов некоторая часть СО2, содержащаяся в расплавленной породе, снова извергается вулканами наружу и запускает следующий оборот великого цикла Гайи.

    Весь цикл — связь вулканов с эрозией пород, с почвенными бактериями, с океаническими водорослями, с известняковыми отложениями и снова с вулканами — работает как гигантская петля обратной связи, участвующая в регулировании температуры Земли. Чем интенсивнее солнечное излучение, тем активнее становятся бактерии почвы и выше скорость эрозии пород. Это, в свою очередь, выкачивает больше СО2 из атмосферы и, таким образом, охлаждает планету. Согласно Лавлоку и Маргулис, подобные циклы обратной связи — связывающие друг с другом растения и камни, животных и атмосферные газы, микроорганизмы и океаны — регулируют климат Земли, содержание соли в ее океанах и другие важные планетарные условия.

    Теория Гайи рассматривает жизнь в системном контексте, сопрягая вместе геологию, микробиологию, химию атмосферы и другие дисциплины, специалисты которых не привыкли взаимодействовать друг с другом. Лавлок и Маргулис бросили вызов общепринятому убеждению, что это изолированные дисциплины, что условия для жизни на Земле создаются геологическими силами и что растения и животные — просто пассажиры, которым случайно удалось найти подходящие условия для своей эволюции. По Гайя теории, жизнь создает условия для собственного существования. Линн Маргулис говорит об этом так:

    Выражаясь простым языком, эта гипотеза [Гайи] говорит о том, что поверхность Земли, которую мы всегда считали окружающей средой, на самом деле является частью жизни. Воздушный покров — тропосферу — следует считать круговой системой, которую формирует и поддерживает сама жизнь… Когда ученые говорят нам, что жизнь приспосабливается, по сути, к пассивному окружению химии, физики и камней, они укрепляют сильно искаженный взгляд на природу. Жизнь на самом деле производит, формирует и изменяет то окружение, к которому она приспосабливается. В таком случае, это «окружение» оказывает обратную связь на жизнь, которая изменяется, действует и растет в нем. Происходят непрерывные циклические взаимодействия65.

    Поначалу неприятие научным сообществом этого нового взгляда на жизнь было столь сильным, что авторы даже не могли опубликовать свою гипотезу. Авторитетные академические журналы, такие как«Science» и «Nature», отвергли ее. В конце концов астроном Карл Саган, который издавал «Icarus», предложил Лавлоку и Маргулис опубликовать их гипотезу в своем журнале66. Поражает тот факт, что ни одна из теорий и Моделей самоорганизации, предложенных к тому времени, не встречала такого сильного сопротивления. Это наводит на размышление о том, не была ли эта в высшей степени иррациональная реакция научного истэблишмента обусловлена влиянием Гайи как мощного архетипического мифа.

    Действительно, образ Гайи как чувствующего существа был одним из главных неявных аргументов против Гайя-гипотезы после ее публикации. Ученые выражали свое неприятие заявлениями, что гипотеза ненаучна, поскольку она телеологична, т. е. подразумевает идею целенаправленного формирования естественных процессов. «Ни Линн Маргулис, ни я сам никогда не говорили, что планетарная саморегуляция целенаправленна, — протестует Лавлок. — И все же мы столкнулись с настойчивой, почти догматической критикой нашей теории как телеологической концепции»67.

    Эта критика уходит корнями в старые споры между механицистами и виталистами. В то время как механицисты утверждают, что все биологические феномены будут в конце концов объяснены в рамках законов физики и химии, виталисты постулируют существование нематериальной сущности, каузального посредника, управляющего жизненными процессами, которые не поддаются механистическому объяснению68. Телеология — от греческого tellos(«причина») — утверждает, что каузальный посредник, признаваемый витализмом, целенаправлен, что в природе существует цель и замысел. Упорно противостоя виталистам и их телеологическим аргументам, механицисты до сих пор сражаются с ньютоновской метафорой Бога как часового мастера. Недавно зародившаяся теория живых систем положила конец спорам между механицизмом и телеологией. Как мы увидим ниже, она рассматривает живую природу как сущность, наделенную интеллектом и разумом, и не нуждается в признании какого-либо высшего замысла или причины69.

    Представители механистической биологии атаковали гипотезу Гайи как телеологическую концепцию, потому что они не могли представить, как жизнь на Земле может создавать и регулировать условия для своего собственного существования, не обладая сознанием и способностью к целеполаганию. «Не проводятся ли собрания комитетов различных биологических видов, чтобы обсудить температуру на будущий год?» — со злорадным юмором вопрошали эти критики70.

    Лавлок ответил на критику невинной математической моделью под названием «Мир маргариток». Она представляет весьма упрощенную схему Гайи, из которой становится совершенно понятно, что регулирование температуры — это внезапно возникающее свойство системы, которое проявляется автоматически в отсутствие какого бы то ни было целенаправленного действия, как следствие наличия петель обратной связи между организмами планеты и их окружением71.

    «Мир маргариток» — это компьютерная модель планеты, согреваемой солнцем с постоянно нарастающим излучением тепла и населенной только двумя видами — черными и белыми маргаритками. Семена этих маргариток рассеяны по всей планете, почва всюду влажна и плодородна, однако маргаритки могут расти лишь в определенном температурном интервале.

    Лавлок ввел математические уравнения, соответствующие всем этим условиям, в качестве начальной выбрал температуру замерзания — и запустил модель на компьютере. «Приведет ли эволюция экосистемы мира маргариток к саморегуляции климата?» — таков был решающий вопрос, который он задал сам себе.

    Результаты оказались впечатляющими. Планета постепенно разогревается, и в какой-то момент экватор становится достаточно теплым для поддержания жизни растений. Первыми появляются черные маргаритки, поскольку они поглощают тепло лучше белых и поэтому более приспособлены к выживанию и воспроизведению. Итак, в первой фазе эволюции в мире маргариток появляется пояс черных маргариток, распределенных вдоль экватора (рис. 5–5).



    Рис. 5–5. Четыре эволюционные фазы мира маргариток

    По мере дальнейшего повышения температуры на планете экватор становится слишком жарким для выживания черных маргариток, и они начинают колонизацию субтропических зон. В это же время в районе экватора появляются белые маргаритки. Поскольку они белые, они отражают тепло и охлаждаются, что повышает их выживаемость в Перегретых зонах по сравнению с черными маргаритками. Итак, во второй фазе вдоль экватора наблюдается пояс белых маргариток, а субтропические зоны и области умеренного климата заполнены черными маргаритками; вблизи полюсов еще слишком холодно для любого вида маргариток.

    Солнце продолжает греть с возрастающей интенсивностью, и растительная жизнь на экваторе вымирает — там становится слишком жарко даже для белых маргариток. Тем временем белые маргаритки сменили черные в умеренных зонах, а черные маргаритки начинают появляться вокруг полюсов. Таким образом, в третьей фазе экватор оказывается бесплодным, умеренные зоны заселены белыми маргаритками, вокруг полярных зон теснятся черные маргаритки, и лишь на самых верхушках полюсов не наблюдается растительной жизни. В последней фазе, наконец, обширные территории вокруг экватора и субтропические зоны оказываются слишком горячими для выживания обоих видов, и мы видим белые маргаритки в умеренных зонах, а черные — на полюсах. После этого на модели планеты становится слишком жарко для выживания обоих видов маргариток, и жизнь на ней вымирает.

    Такова основная динамика системы мира маргариток. Важнейшее свойство модели, обусловленное саморегулированием, заключается в том, что черные маргаритки, поглощая тепло, согревают не только себя, но и саму планету. Подобным же образом, когда белые маргаритки отражают тепло и охлаждаются, они охлаждают и планету. Стало быть, в течение всей эволюции мира маргариток тепло поглощается и отражается в зависимости от того, какой вид маргариток доминирует.

    Когда Лавлок изобразил на графике изменения температуры планеты в ходе ее эволюции, он получил поразительный результат: температура планеты поддерживается постоянной на протяжении всех четырех фаз (рис. 5–6). Когда солнце относительно прохладно, мир маргариток повышает свою температуру через поглощение тепла черными маргаритками; по мере того как солнце нагревается, температура постепенно снижается из-за прогрессирующего преобладания белых маргариток, отражающих тепло. Так мир маргариток, без всякого предвидения и планирования, «регулирует свою температуру в обширном диапазоне лишь с помощью танца маргариток»72.

    Петли обратной связи, которые регулируют влияние окружающей среды на рост маргариток, который, в свою очередь, влияет на окружение, представляют собой существенную особенность модели Мира маргариток. Если этот цикл разорвать так, чтобы маргаритки перестали влиять на окружающую среду, популяции маргариток начинают сильно и беспорядочно колебаться и вся система приходит в хаотическое состояние. Но как только петли замыкаются, снова связывая маргаритки с окружающей средой, модель стабилизируется и возникает саморегуляция.



    Рис. 5–6.

    Эволюция температуры в мире маргариток: пунктирная кривая показывает рост

    температуры в отсутствии жизни; непрерывная кривая показывает, как жизнь

    поддерживает постоянную температуру. График взят из Lovelock (1991)

    С тех пор Лавлок разработал несколько гораздо более сложных версий мира маргариток. В новых моделях присутствуют не два, а гораздо больше видов маргариток с различной пигментацией; существуют модели, в которых маргаритки развиваются и изменяют цвет, модели, в которых кролики поедают маргаритки, а лисы поедают кроликов, и т. д.73. Конечный результат анализа всех этих весьма сложных моделей состоит в том, что небольшие температурные колебания, присутствующие в первоначальной модели мира маргариток, сглаживаются и саморегуляция становится все более и более устойчивой по мере возрастания сложности модели. Кроме того, Лавлок ввел в свои модели катастрофы, которые с регулярными интервалами уничтожают 30 % маргариток. Он обнаружил, что саморегуляция мира маргариток обнаруживает замечательную гибкость и при этих резких возмущениях.

    Все эти модели вызвали оживленную дискуссию среди биологов, геофизиков и геохимиков, и с тех пор, как они были впервые опубликованы, стала вызывать больше уважения в научном сообществе и Гайя- гипотеза. Сегодня уже в разных частях света существует несколько исследовательских групп, которые работают над подробными формулировками Гайя-теории74.

    Первые попытки синтеза

    В конце 70-х, почти двадцать лет спустя после того, как в различных контекстах были обнаружены ключевые критерии самоорганизации, удалось сформулировать подробные математические теории и модели самоорганизующихся систем и стал очевиден набор присущих им характеристик: непрерывный поток энергии и материи через систему, далекое от равновесия устойчивое состояние, возникновение новых паттернов порядка, центральная роль петель обратной связи и математическое описание в виде нелинейных уравнений.

    В это же время австрийский физик Эрих Янч, работавший тогда в Калифорнийском университете в Беркли, в своей книге «Самоорганизующаяся Вселенная» представил одну из первых попыток синтеза новых моделей самоорганизации, основанную, главным образом, на теории диссипативных структур Пригожина75. И хотя сегодня книга Янча уже устарела, поскольку была написана прежде, чем широкую известность приобрела математика сложных систем, и не включала полную концепцию автопоэза как организации живых систем, в то время она представляла собой огромную ценность. Это была первая книга, сделавшая труды Пригожина доступными для широкой публики, и в ней была предпринята попытка объединить самые новые (на тот момент) концепции и идеи в связную парадигму самоорганизации. Мой синтез этих концепций в настоящей книге является в некоторой мере попыткой переформулировать ранние работы Эриха Янча.

    Примечания к главе 5

    См. Checkland (1981), pp. 123ff.

    См. там же, р. 129.

    CM.Dickson(1971).

    Цитируется по Checkland (1981), р. 137.

    См. там же.

    См. Richardson (1992), pp. 149ff, 170ff.

    Ulrich(1984).

    8. См. Konigswieser и Lutz (1992).

    9. См. Сарга(1982),р. 116ff.

    10. Lilienfeld(1978), pp. 191-2.

    См. ниже, с 140–142.

    См. выше, с. 34–35.

    См. выше, с. 53.

    См. ниже, с. 179 и далее.

    См. Varela et al. (1992), p. 94.

    См. выше, с. 73 и далее.

    McCulloch и Pitts (1943).

    См., например, Ashby (1947).

    См. Yovits and Cameron (1959), Foerster and Zopf (1962); Yovits, Jacobi and Goldstein (1962).

    Математическое выражение избыточности имеет вид R = 1 — H/Hmax > где Н — энтропия системы в данный момент, а Н мах — максимально возможная энтропия для этой системы.

    Подробный обзор истории этих исследовательских проектов см. в Paslack (1991).

    Цитируется там же, р. 97п.

    См. Prigogine and Stengers (1984), p. 142.

    См. Laszlo (1987), p. 29.

    См. Prigogine and Stengers (1984), p. 146ff.

    Там же, p. 143.

    Prigogine (1967).

    Prigogine and Glansdorff (1971).

    Цитируется по Paslack(1991), p. 105.

    См. Graham (1987).

    Cm. Paslack (1991), pp. 106-7.

    Цитируется там же, р. 108; см. также Haken (1987).

    Перепечатана в Haken (1983).

    Graham (1987).

    35. Цитируется по Paslack (1991),p. 111.

    36. Eigen(1971).

    См. Prigogine and Stengers (1984), p. 133ff, атакже Laszlo (1987), p. 31ff.

    Cm. Laszlo(1987), pp. 34–35.

    Цитируется по Paslack (1991),p. 112.

    Humberto Maturana в Maturana and Varela (1980), p. xii.

    Maturana(1970).

    Цитируется по Paslack (1991), p. 156.

    Maturana (1970).

    Цитируется по Paslack (1991), p. 155.

    Maturana (1970); см. р. 162ff; подробности и примеры см. ниже, с. 182 и далее.

    См. ниже, с. 285 и далее.

    Humberto Maturana в Maturana and Varela (1980), p. xvii.

    Maturana and Varela (1972).

    Varela, Maturana and Uribe (1974).

    Maturana and Varela (1980), p. 75.

    См. выше, ее. 34 и 82–83.

    Maturana and Varela (1980), p. 82.

    См. Capra (1985).

    GeoffreyChew, цитируется по Capra (1975), p. 296.

    См. ниже, с. 176 и далее.

    См. выше, ее. 37–39 и 48.

    См. Ке11еу(1988).

    См. Lovelock (1979), p. Iff.

    Lovelock (1991), pp. 21–22.

    Там же, р. 12.

    См. Lovelock (1979), р. 11.

    Lovelock (1972).

    Margulis (1989).

    См. Lovelock (1991), pp. 108-11; см. также Harding (1994).

    Margulis (1989).

    См. Lovelock and Margulis (1974).

    Lovelock (1991), p. 11.

    См. выше, с. 40 и далее.

    См. ниже, ее. 238–239,252.

    Lovelock (1991), р. 62.

    См. там же, p. 62ff, см. также Harding (1994).

    Harding (1994).

    См. Lovelock (1991), pp. 70–72.

    См. Schneider and Boston (1991).

    Jantsch(1980).

    Глава 6 Математика сложных систем

    Взгляд на живые системы как на самоорганизующиеся сети, все компоненты которых взаимосвязаны и взаимозависимы, в процессе развития истории философии и науки неоднократно высказывался в той или иной форме. Однако подробные модели самоорганизующихся систем предложены лишь недавно, когда стал доступен новый математический инструментарий, позволивший ученым смоделировать нелинейные характеристики взаимосвязанности сетей. Открытие этой новой математики сложности все чаще признается учеными одним из важнейших событий XX века.

    Теории и модели самоорганизации, описанные в предыдущих главах, имеют дело с весьма сложными системами, состоящими из тысяч взаимозависимых химических реакций. За последние три десятилетия появилось множество новых концепций и технологий для работы с феноменами такой огромной сложности; на базе этих концепций в настоящее время начинает формироваться согласованная математическая структура. И все же четкого названия этой новой математики пока нет. По научно-популярной литературе она известна как математика сложных систем, более технические названия звучат как теория динамических систем, системная динамика, комплексная динамика или нелинейная динамика. Вероятно, наиболее широко используется термин теория динамических систем.

    Чтобы избежать путаницы, полезно помнить, что теория динамических систем не относится к физическим феноменам, это — математическая теория, концепции и методы которой применимы к достаточно широкому диапазону явлений. То же касается теории хаоса и теории фракталов — важных разделов теории динамических систем.

    Новая математика (мы рассмотрим это подробно) является математикой взаимоотношений и паттернов. Имея скорее качественный, чем количественный характер, она тем самым обусловливает сдвиг акцента, что характерно для системного мышления — от объектов к взаимоотношениям, от количества к качеству, от материи к паттерну. Развитие мощных высокоскоростных компьютеров сыграло решающую роль в освоении сложных систем. Математики сегодня могут решать сложные уравнения, которые раньше не поддавались решению, и прослеживать решения в виде кривых на графике. Таким способом они обнаружили новые качественные паттерны поведения этих сложных систем, новый уровень порядка, лежащий в основе кажущегося хаоса.

    Классическая наука

    Чтобы оценить новизну новой математики сложных систем, представляется интересным сопоставить ее с математикой классической науки. Наука, в современном понимании этого термина, появилась в конце XVI века, когда Галилео Галилей первым начал ставить систематические эксперименты, используя математический язык для формулирования открытых им законов природы. В те времена науку все еще называли «натуральной философией», и когда Галилей говорил «математика», он имел в виду геометрию. «Философия, — писал он, — записана в той Великой книге, которая всегда перед нашим взором; но мы не сможем понять ее, если сначала не выучим ее язык и те символы, которыми она написана. Этот язык — математика, а символы — это треугольники, окружности и другие геометрические фигуры»1.

    Галилео унаследовал эту точку зрения от философов античной Греции, которые были склонны геометризировать все математические проблемы и искать ответы в рамках геометрических фигур. Есть свидетельства, что над входом в Академию Платона, главную греческую школу науки и философии на протяжении девяти столетий, была высечена надпись: «Да не войдет сюда несведущий в геометрии».

    Несколько веков спустя совершенно иной подход к решению математических проблем, известный как алгебра, был разработан в Персии мусульманскими философами, которые, в свою очередь, переняли его у индийских математиков. Название происходит от арабского al-jabr(«связывать вместе») и относится к процессу сокращения числа неизвестных величин путем связывания их вместе в уравнения. В элементарной алгебре буквы в уравнениях — взятые обычно из начала алфавита — означают различные постоянные числа. Хорошо известным примером, который большинство читателей помнит со школьной скамьи, служит уравнение

    (а+b)2 = а2 + 2ab + Ь2.

    В высшей алгебре рассматриваются взаимосвязи, называемые функциями, между неизвестными переменными числами, или переменными, которые условно обозначают последними буквами алфавита. Например, говорят, что в уравнении

    у = х+ 1

    переменная у является функцией х. Это в математике кратко обозначается

    у = f(x).

    Таким образом, во времена Галилея существовало два различных подхода к решению математических проблем — геометрия и алгебра, которые пришли из разных культур. Два эти подхода были объединены Рене Декартом. Моложе Галилея на поколение, Декарт более всего известен как основатель современной философии. Однако он был и блестящим математиком. Изобретенный Декартом метод преобразования алгебраических формул и уравнений в визуальную геометрическую форму стал величайшим из его многочисленных вкладов в математику.

    Метод, известный как аналитическая геометрия, немыслим без декартовых координат — системы координат, изобретенной Декартом и названной в его честь. Например, когда взаимосвязь между двумя переменными х и у из нашего предыдущего примера (уравнение у = х + 1) изображается графически в декартовой системе координат, мы видим, что она соответствует прямой линии (рис. 6–1). Вот почему уравнения такого типа называются линейными.

    Подобным же образом уравнение у = х2 представляется в виде параболы (рис. 6–2). Уравнения такого типа, соответствующие кривым линиям в декартовой сетке координат, называются нелинейными. Их отличительной чертой служит то, что одна или больше его переменных возведены в степень не менее 2-й.

    Дифференциальные уравнения

    В свете нового метода Декарта законы механики, открытые Галилеем, могли быть выражены либо в алгебраической форме как уравнения, либо в геометрической — как зримые фигуры. Однако существовала важная математическая проблема, которую ни Галилей, ни Декарт, ни кто-либо из их современников не могли решить. -



    Рис. 6–1.

    График, соответствующий уравнению у = х + 1. Для каждой точки на прямой линии значение у- координаты всегда будет на единицу больше значения соответствующей х- координаты

    У



    Рис. 6–2.

    График, соответствующий уравнению у = х2. Для любой точки параболы, у-координата равна квадрату х-координаты

    Они не могли составить уравнение, описывающее движение тела с переменной скоростью, с ускорением или замедлением.

    Чтобы понять эту проблему, рассмотрим два движущихся тела: одно передвигается с постоянной скоростью, другое — с ускорением. Если мы построим для них график зависимости расстояния от времени, то получим две кривые, показанные на рис. 6–3. Скорость ускоряющегося тела меняется каждое мгновение, и это именно то, что Галилей и его современники не могли выразить математически. Иными словами, они не могли вычислить точное значение скорости в данный момент времени.

    Расстояние



    Рис. 6–3.

    Графики движения двух тел: одного движущегося с постоянной скоростью, другого — с ускорением

    Столетие спустя великану классической науки Исааку Ньютону и, примерно в то же время, немецкому философу и математику Готфриду Вильгельму Лейбницу удалось сделать это. Для того чтобы решить эту проблему, на протяжении веков мучившую математиков и натурфилософов, Ньютон и Лейбниц, независимо друг от друга, изобрели новый математический метод, сегодня известный как дифференциальное исчисление. Метафорически этот метод называется «воротами в высшую математику».

    Понять, каким образом Ньютон и Лейбниц подошли к решению проблемы, представляется весьма поучительным и не требует знания специального математического языка. Всем известно, как вычислить скорость движущегося тела, если она остается постоянной. Если вы ведете машину со скоростью 20 км/ч, то это значит, что за час вы проедете 20 километров, за 2 часа — 40 и т. д. Другими словами, для того чтобы определить значение скорости машины, вы просто делите расстояние (например, 40 километров) на время, которое у вас уходит, чтобы его проехать (например, 2 часа). Применительно к нашему графику это означает, что разность между двумя координатами расстояния нужно поделить на разность между двумя соответствующими координатами времени, как это показано на рис. 6–4.

    Если скорость машины меняется — а это всегда происходит в реальной жизненной ситуации, — то за один час вы проедете больше или меньше 20 км, в зависимости от того, как часто ускоряли или замедляли ход машины. Как же в таком случае вычислить точную скорость в определенный момент времени?

    Вот как это сделал Ньютон. Он предложил сначала вычислить (в случае ускоряющегося движения) примерную скорость между двумя точками, заменив участок кривой между ними прямым отрезком. Как видно из рис. 6–5, скорость опять определяется соотношением между {d2-d1) и (t2-t1). Это не будет точным значением скорости ни в одной из двух точек, но если уменьшить расстояние между ними в достаточной степени, мы получим хорошее приближение.

    Затем Ньютон предложил: давайте стягивать треугольник, образованный кривой и разностями координат, сдвигая две точки на кривой все ближе и ближе друг к другу. Пока мы делаем это, отрезок прямой между двумя точками будет все ближе и ближе подходить к кривой, а погрешность в вычислении скорости между двумя точками будет все меньше и меньше. В конце концов когда мы достигаем предела отношения бесконечно малых разниц — это критический шаг! — две точки на кривой сливаются в одну, а мы получаем точное значение скорости в этой точке. Геометрически прямая, соответствующая этой скорости, расположится по касательной к кривой.

    Стянуть этот треугольник — в математическом смысле — к нулю и вычислить соотношение между двумя бесконечно малыми разностями — задача отнюдь не тривиальная. Точное определение предела бесконечно малого — самый трудный момент всей процедуры исчисления.



    Рис. 6–4.

    Чтобы вычислить постоянную скорость, нужно поделить

    разность между координатами расстояния (d2-d1)

    на разность между координатами времени (t2-t1)



    Рис. 6–5.

    Вычисление приблизительного значения скорости между двумя точками в случае ускоряющегося движения

    На математическом языке бесконечно малая разность называется дифференциалом; поэтому и исчисление, изобретенное Ньютоном и Лейбницем, известно как дифференциальное. Уравнения, в которые входят дифференциалы, называются дифференциальными уравнениями.

    Изобретение дифференциального исчисления явилось для науки гигантским шагом вперед. Впервые в человеческой истории понятию бесконечного, волновавшему философов и поэтов с незапамятных времен, было дано точное математическое определение; оно открыло необозримые новые возможности для анализа естественных феноменов.

    Мощь нового аналитического инструмента можно проиллюстрировать на знаменитом парадоксе Зенона, представителя ранней элейской школы греческой философии. Согласно Зенону, великий атлет Ахилл никогда не сможет догнать черепаху в забеге, если черепаха стартует первой, поскольку, как только Ахилл наверстает начальное отставание, черепаха за это время продвинется еще дальше, а когда Ахилл пробежит и это расстояние, у черепахи опять окажется фора, и так до бесконечности. И хотя отставание атлета продолжает сокращаться, оно никогда не исчезнет. В каждый данный момент черепаха всегда будет впереди. Поэтому, как заключает Зенон, даже самый быстрый бегун никогда не сможет состязаться с медлительной черепахой.

    Греческие философы и их последователи веками спорили по поводу этого парадокса, но никак не могли разрешить его, поскольку точное определение бесконечно малого ускользало от них. Упущение в аргументации Зенона кроется в том, что, даже если Ахиллу придется сделать бесконечное число шагов, чтобы догнать черепаху, это не займет бесконечного времени. Применив аппарат исчисления Ньютона, можно легко показать, что движущееся тело промчится сквозь бесконечное число бесконечно малых интервалов за конечное время.

    В XVII веке Исаак Ньютон использовал свое исчисление для описания любых возможных движений твердых тел с помощью набора дифференциальных уравнений, которые с тех пор стали известны как ньютоновы уравнения движения. Этот подвиг Эйнштейн восславил как «возможно, величайшее достижение мысли, которое когда-либо посчастливилось осуществить одному человеку»2.

    Лицом к лицу со сложностью

    В течение XVIII и XIX столетий уравнения движения Ньютона были облечены в более общие, более абстрактные и более элегантные формы некоторыми из величайших умов в истории математики. Успешные новые формулировки, предложенные Пьером Лапласом, Леонардом Эйлером, Жозефом Лагранжем и Вильямом Гамильтоном, не изменили содержания ньютоновых уравнений, но их возрастающая сложность позволила ученым анализировать постоянно расширяющийся диапазон естественных явлений.

    Применяя свою теорию к движению планет, Ньютон сам воспроизвел основные особенности Солнечной системы, правда, без учета некоторых тонкостей. Лаплас, однако, усовершенствовал вычисления Ньютона до такой степени, что ему удалось объяснить движение планет, их спутников и комет вплоть до мельчайших деталей, равно как и механизм приливов и других явлений, связанных с гравитацией.

    Воодушевленные этими яркими успехами ньютоновской механики в астрономии, физики и математики распространили ее на движение жидкостей, на вибрацию струн, колоколов, других упругих тел — и она работала! Впечатляющие достижения заставили ученых начала XIX века поверить, что Вселенная на самом деле представляет собой гигантскую механическую систему, функционирующую в соответствии с ньютоновскими законами движения. Так ньютоновы дифференциальные уравнения стали математической основой механистической парадигмы. Мировая машина Ньютона казалась совершенно каузальной и детерминированной. Все, что происходит, обусловливается определенной причиной и вызывает определенный эффект, и будущее любой части этой системы можно — в принципе — предсказать с абсолютной достоверностью, если только в начальный момент времени ее состояние известно во всех подробностях.

    На практике, конечно, вскоре стала очевидной ограниченность попыток моделирования Природы с помощью ньютоновых уравнений. Как замечает британский математик Ян Стюарт, «составлять уравнения — одно дело, решать их — совсем другое»3. Точные решения были ограничены небольшим количеством простых и устойчивых явлений; в то же время существовали обширные области Природы, которые, похоже, исключали всякое механистическое моделирование. Например, относительное движение двух тел, обусловленное силой их тяготения, могло быть вычислено точно; для трех тел соответствующие расчеты становились слишком сложными или неточными; а когда дело касалось газов с миллионами частиц, ситуация казалась безнадежной.

    С другой стороны, физики и химики уже долгое время наблюдали в поведении газов некие регулярности, нашедшие свое отражение в формулировке так называемых газовых законов — простых математических связей между температурой, объемом и давлением газа. Каким образом эта явная простота могла быть выведена из исключительно сложного движения отдельных молекул?

    В XIX веке великий физик Джеймс Кларк Максвелл нашел ответ. И хотя поведение молекул газа не могло быть определено абсолютно точно, ученый утверждал, что наблюдаемые регулярности могут быть обусловлены их усредненным поведением. И Максвелл предложил использовать статистические методы для определения законов движения для газов:

    Мельчайшая порция вещества, которую мы можем подвергнуть эксперименту, состоит из миллионов молекул, ни одна из которых индивидуально нами не ощущается. Мы не можем поэтому установить реальное движение ни одной из этих молекул; следовательно, мы вынуждены отказаться от прямого исторического метода и принять статистический метод для работы с большими группами молекул4.

    Метод Максвелла и в самом деле оказался весьма успешным и позволил физикам объяснить основные свойства газа на основе усредненного поведения его молекул. Например, стало ясно, что давление газа — это сила, вызванная усредненным напором молекул5; оказалось также, что температура пропорциональна усредненной энергии движения молекул. Статистика и теория вероятности, теоретическая основа метода, развивались начиная еще с XVII века и уже были готовы к применению в теории газов. Объединение статистических методов с ньютоновской механикой привело к возникновению новой области науки, которая, соответственно, была названа статистической механикой; она и стала теоретической основой термодинамики — теории тепла.

    Нелинейность

    Итак, к концу XIX века ученые разработали два различных математических инструмента для моделирования естественных явлений — точный (детерминистские уравнения движения для простых систем) и уравнения термодинамики, основанные на статистическом анализе усредненных величин для сложных систем.

    И хотя эти два подхода совершенно различны, есть у них и общая черта: они используют линейные уравнения. Ньютоновы уравнения движения носят весьма общий характер и применимы как для линейных, так и для нелинейных явлений; в действительности же нелинейные уравнения получаются гораздо чаще, можно сказать на каждом шагу. Однако, поскольку они обычно слишком сложны для решения и связаны с хаотической, на первый взгляд, природой соответствующих физических явлений — например, с турбулентными потоками воды и воздуха, — ученые, как правило, избегают изучения нелинейных систем6.

    Поэтому, как только нелинейные уравнения появлялись, их тут же «линеаризовали», т. е. заменяли линейными приближениями. В результате, вместо того чтобы описывать явления во всей их сложности, уравнения классической науки имели дело с малыми колебаниями, неглубокими волнами, небольшими изменениями температуры и т. д. Как заметил Ян Стюарт, эта привычка укоренилась настолько, что многие уравнения линеаризировались уже в ходе составления, поэтому в учебники даже не включались полные нелинейные версии. И даже у большинства ученых и инженеров сложилось убеждение, что фактически все природные явления можно описать с помощью линейных уравнений. «Как мир был подобен заводным часам в XVIII столетии, так он стал линейным в XIX и большей части XX столетия»7.

    Решительная перемена за последние три десятилетия выразилась в осознании того, что Природа, по выражению Стюарта, «безжалостно нелинейна». Нелинейные процессы преобладают в неодушевленном мире в гораздо более значительной степени, чем мы предполагали. Они также являются существенным аспектом сетевых паттернов живых систем. Теория динамических систем — первая математическая система, позволяющая ученым работать со всем диапазоном сложности этих нелинейных феноменов.

    Исследования нелинейных систем за последние десятилетия оказали значительное влияние на науку в целом, поскольку заставили нас заново оценить некоторые фундаментальные представления о взаимоотношениях между математической моделью и теми феноменами, которые она описывает. Одно из таких представлений касается нашего понимания простоты и сложности.

    Пребывая в мире линейных уравнений, мы думали, что системы, описываемые простыми уравнениями, отличаются простым поведением, в то время как описываемые сложными уравнениями ведут себя гораздо сложнее. В нелинейном мире — который, как мы начинаем обнаруживать, составляет львиную долю реального мира — простые детерминистские уравнения могут таить в себе неожиданное богатство и разнообразие поведения. С другой стороны, сложное и кажущееся хаотичным поведение может породить упорядоченные структуры, тонкие и изящные паттерны. В теории хаоса сам термин хаос приобрел новое, техническое значение. Поведение хаотических систем не просто беспорядочно: оно проявляет более глубокий уровень паттернового порядка. Как мы увидим ниже, новый математический аппарат позволяет рассмотреть эти глубинные паттерны в явных и отчетливых формах.

    Еще одно важное свойство нелинейных уравнений, которое всегда смущало ученых, заключается в том, что точное предсказание часто бывает неосуществимо, даже если уравнения строго детерминированы. Эта поразительная особенность нелинейности обусловила важный сдвиг акцента от количественного анализа к качественному.

    Обратная связь и итерации

    Третье важное свойство нелинейных систем вытекает из частого возникновения в них процессов с усиливающей обратной связью. В линейных системах малые изменения производят малые эффекты, а значительные эффекты являются следствием либо больших изменений, либо суммы множества мелких изменений. В нелинейных системах, напротив, мелкие изменения могут вызвать драматический эффект, если они многократно усиливаются через обратную связь. Такие нелинейные процессы с обратной связью лежат в основе неустойчивости и внезапного появления новых форм порядка, столь характерных для самоорганизации.

    Математически петля обратной связи соответствует особому типу нелинейного процесса, известному как итерация (латинское «повторение»); в этом процессе функция многократно применяется к себе самой. Например, если функция состоит в умножении переменной на 3, т. е. f(x) = Зх, то итерация заключается в многократном умножении. В математике это записывается так:

    х > Зх

    Зх > 9х

    9х > 27х

    и т. д.

    Каждый из этих шагов называется отображением. Если мы представим себе переменную х в виде числовой оси, то операция х — > Зх отображает каждое число на другое число на этой же оси. В более общем случае отображение, состоящее в умножении х на постоянное число /с, записывается в виде:

    х > kх.

    Часто встречаемой в нелинейных системах итерацией, очень простой и в то же время производящей огромную сложность, является отображение:

    х > kх(1 — х),

    где переменная х ограничена значениями от 0 до 1. Это отображение, известное математикам как логистическое, имеет много важных приложений. Его, например, используют экологи для описания роста населения при противоположных тенденциях, и поэтому оно также известно как уравнение роста8.

    Исследование итераций разнообразных логистических отображений представляет собой увлекательное упражнение, которое можно легко осуществить с помощью карманного калькулятора9. Чтобы понять существенную особенность этих итераций, снова выберем значение k=3:

    х > Зх(1 — х).

    Переменную х можно представить в виде участка оси от 0 до 1, тогда очень просто вычислить отображения для нескольких точек, например

    > 0(1 — 0) =00.2 > 0.6 (1 — 0.2) = 0.480.4 > 1.2 (1 — 0.4) = 0.720.6 > 1.8 (1–0.6) = 0.720.8 > 2.4 (1 — 0.8) = 0.48

    > 3(1–1) =0.

    Отметив эти числа на двух участках оси, можно увидеть, что величины от 0 до 0,5 отображаются числами от 0 до 0,75. Таким образом, 0,2 превращается в 0,48, а 0,4 становится 0,72. Числа от 0,5 до 1 отображаются на том же участке, но в обратном порядке. Так, 0,6 превращается в 0,72, а 0,8 становится 0,48. Общий эффект показан на рис. 6–6. Отображение растягивает отрезок от 0 до 1,5, а затем снова сворачивает его так, что значения пробегают от 0 до 0,75 и обратно.



    Итерация этого отображения выльется в повторяющееся растягивание и сворачивание операций подобно тому, как пекарь вновь и вновь месит тесто, сворачивая и растягивая его. Эту итерацию очень удачно назвали преобразованием пекаря. По мере того как происходит растягивание и сжимание, соседние точки на отрезке будут все дальше и дальше расходиться, и предсказать, где окажется определенная точка после множества итераций, становится невозможно.

    Даже самые мощные компьютеры округляют свои вычисления, ограничивая количество цифр после точки; и после большого количества итераций даже мелкие погрешности округления складываются в значительную неопределенность, исключая любые предсказания. 11реобра-зование пекаря есть прототип нелинейных сверхсложных непредсказуемых процессов, обозначаемых специальным термином «хаос».

    Пуанкаре и следы хаоса

    Теория динамических систем — математическая теория, позволившая внести порядок в хаос, — была разработана совсем недавно, однако ее основы были заложены в начале XX века одним из величайших математиков нового времени Анри Пуанкаре. Среди математиков своего века Пуанкаре был последним великим эрудитом. Ученый внес весомый вклад фактически во все разделы математики. Собрание его сочинений исчисляется несколькими сотнями томов.

    В конце XX века нам не трудно оценивать достижения Пуанкаре: важнейшее из них состояло в том, что он вернул в математику визуальные образы10. Начиная с XVII века, стиль европейской математики постепенно смещался от геометрии (математики визуальных форм) к алгебре (математике формул). Так, например, Лаплас, один из великих формализаторов, гордился тем, что в его «Аналитической механике» нет ни одного рисунка. Пуанкаре развернул тенденцию в обратном направлении, ослабляя засилье анализа и формул, становившееся все более гнетущим, и возвращаясь к визуальным паттернам.

    Визуальная математика Пуанкаре, однако, не равнозначна геометрии Евклида. Это геометрия нового типа, математика паттернов и взаимоотношений, известная как топология. Топология — это геометрия, в которой все длины, углы и площади могут деформироваться как угодно. Так, треугольник может быть постепенно трансформирован в прямоугольник, прямоугольник — в квадрат, квадрат — в окружность. Точно так же куб может превратиться в цилиндр, цилиндр — в конус, конус — в сферу. Благодаря этим непрерывным преобразованиям топологию часто называют «резиновой геометрией». Все фигуры, которые могут быть преобразованы друг в друга посредством непрерывного сгибания, растягивания и кручения, называются топологически эквивалентными.

    Тем не менее не все можно осуществить через топологическую трансформацию. Фактически топология занимается как раз теми свойствами геометрических фигур, которые не изменяются при их трансформации. Пересечения линий, например, остаются пересечениями, а отверстие в торе (бублике) нельзя трансформировать так, чтобы оно пропало. Таким образом, бублик может быть топологически трансформирован в кофейную чашечку (отверстие превратится в отверстие ручки), но никак не в блин. Тогда топология оказывается действительно математикой взаимоотношений, неизменяемых, или инвариантных, паттернов.

    Пуанкаре использовал топологическую концепцию для анализа качественных особенностей сложных динамических проблем — и тем самым заложил основы математики сложных систем, которая сформировалась лишь столетие спустя. Среди проблем, проанализированных Пуанкаре, была знаменитая проблема трех тел в небесной механике (относительное движение трех тел под влиянием их взаимного гравитационного притяжения), которую прежде никому не удавалось решить1'. Применив свой топологический метод к слегка упрощенной проблеме трех тел, Пуанкаре смог определить общую форму их траекторий, и нашел, что она отличается устрашающей сложностью:

    Когда пытаешься представить фигуру, образуемую этими двумя кривыми и бесконечными их пересечениями… обнаруживаешь некую сеть, паутину, или бесконечно густую решетку; ни одна из этих кривых никогда не может пересечь саму себя, но должна загибаться очень сложным образом, чтобы пересечь нити паутины бесконечно много раз. Поражает сложность этой фигуры, которую я даже не пытаюсь нарисовать12.

    То, что Пуанкаре изображал в уме, теперь называется странным аттрактором. По словам Яна Стюарта, «Пуанкаре видел отпечатки ступней хаоса»12. Показав, что простые детерминированные уравнения движения могут порождать невообразимую сложность, не поддающуюся никаким попыткам предсказания, Пуанкаре бросил вызов самим основам ньютоновской механики. Однако по очередной причуде истории, ученые начала века не приняли этот вызов. Через несколько лет после того, как Пуанкаре опубликовал свою работу по проблеме трех тел, Макс Планк открыл энергетические кванты, а Альберт Эйнштейн опубликовал свою специальную теорию относительности14. В течение второй половины века физики и математики были зачарованы революционными открытиями в квантовой физике, теории относительности, а важнейшее открытие Пуанкаре отошло на задний план. Так продолжалось до 60-х годов, когда ученые вновь столкнулись со сложностями хаоса.

    Траектории в абстрактных пространствах

    Математический аппарат, позволивший ученым в течение трех последних десятилетий обнаружить упорядоченные паттерны в хаотических системах, основан на топологическом подходе Пуанкаре и тесно связан с развитием компьютеров. С помощью современных высокоскоростных компьютеров ученые могут решать нелинейные уравнения такими методами, которые ранее были недоступны; легко могут вычерчивать сложные траектории, которые Пуанкаре даже не пытался изобразить.

    Как большинство читателей помнят со школьной скамьи, уравнение решают посредством различных манипуляций с ним, пока не получают окончательную формулу — решение. Оно и называется «аналитическим» решением уравнения. Результатом всегда является формула. Большинство нелинейных уравнений, описывающих естественные явления, слишком сложны для того, чтобы их можно было решить аналитически. Однако есть еще один способ — так называемое «численное» решение уравнения. Оно включает в себя метод проб и ошибок. Вы пробуете разнообразные комбинации чисел для переменных, пока не найдете те, которые удовлетворяют уравнению. Была разработана специальная техника и специфические приемы для эффективного решения этой задачи, но для большинства уравнений подобный процесс оказывается слишком громоздким, занимает много времени и дает очень грубые, приблизительные решения.

    Ситуация изменилась с появлением нового поколения компьютеров. Теперь у нас есть программы для исключительно быстрого и точного численного решения уравнений. Применяя новые методы, мы можем решать нелинейные уравнения с любой степенью точности. Тем не менее это решения совершенно иного плана. Результатом становится не формула, а огромное множество значений переменных, удовлетворяющих уравнению, и компьютер можно запрограммировать так, чтобы он графически вычерчивал решение в виде кривой или множества кривых. Такая технология позволила ученым решить сложные нелинейные уравнения, связанные с хаотическими феноменами, и обнаружить порядок в кажущемся хаосе.

    Для того чтобы обнаружить эти упорядоченные паттерны, переменные сложной системы отображаются в абстрактном математическом пространстве — так называемом фазовом пространстве. Эта хорошо известная методика была разработана в термодинамике еще в начале века15. Каждой переменной в системе ставится в соответствие одна из координат абстрактного пространства. Проиллюстрируем это очень простым примером: шариком, раскачивающимся на маятнике. Чтобы полностью описать движение маятника, требуются две переменные: угол, который может быть положительным либо отрицательным, и скорость, которая также может быть положительной или отрицательной, в зависимости от направления отклонения маятника. С помощью этих двух переменных, угла и скорости, можно полностью описать состояние движения маятника в любой момент времени.

    СкоростьУгол

    Скорость

    Угол

    Рис. 6–7. Двухмерное фазовое пространство маятника

    Если теперь мы начертим декартову систему координат, в которой одна ось соответствует углу, а другая — скорости (рис. 6–7), эта система координат представит двухмерное пространство, в котором каждая определенная точка соответствует возможному состоянию движения маятника. Посмотрим, где располагаются эти точки. В состоянии крайнего отклонения скорость равна нулю. Это дает нам две точки на горизонтальной оси. В центре, где угол равен нулю, скорость максимальна и либо положительна (когда маятник движется, например, вправо), либо отрицательна (когда маятник движется в противоположном направлении). Это дает нам две точки на вертикальной оси. Эти четыре точки в фазовом пространстве, которые мы обозначили на рис. 6–7, отражают крайние состояния маятника — максимальное отклонение и максимальную скорость. Точное расположение этих точек будет зависеть от выбранных нами единиц измерения.

    Если мы продолжим наблюдения и отметим точки, соответствующие состояниям движения между крайними положениями, то обнаружим, что они лежат на замкнутой петле. Можно превратить петлю в окружность, должным образом выбрав единицы измерения, но, в общем случае, это будет нечто вроде эллипса (рис. 6–8).

    СкоростьУгол

    Скорость

    Угол

    Рис. 6–8. Траектория маятника в фазовом пространстве

    Эта кривая называется траекторией маятника в фазовом пространстве и полностью описывает движение системы. Все переменные системы (в нашем простом случае — две) представлены единственной точкой, всегда расположенной где-то на этой кривой. С каждым полным циклом качания маятника точка в фазовом пространстве будет описывать петлю.

    В любой момент мы можем измерить две координаты точки в фазовом пространстве и таким образом узнать точное состояние системы (угол и скорость). Заметим, что эта кривая никоим образом не является траекторией самого маятника. Это кривая, образованная двумя переменными системы в абстрактном математическом пространстве.

    В этом и заключается методика фазового пространства. Переменные данной системы изображаются в абстрактном пространстве, причем одна точка описывает всю систему. По мере того как система изменяет свое состояние, точка вычерчивает в фазовом пространстве траекторию — в нашем случае замкнутую кривую. Когда система является не простым маятником, а гораздо более сложной структурой, у нее, соответственно, больше переменных, но метод остается прежним. Каждая переменная представлена координатой в отдельном измерении фазового пространства. Если в системе 16 переменных, мы получим 16-мерное пространство. Одна точка в этом пространстве будет полностью описывать состояние всей системы, поскольку эта точка имеет 16 координат, каждая из которых соответствует одной из 16 переменных системы.

    Скорость



    Рис. 6–9. Траектория маятника с трением в фазовом пространстве

    Безусловно, мы не можем визуально воспринять фазовое пространство с 16 измерениями; потому его и называют абстрактным математическим пространством. Математики не испытывают никаких проблем с такими абстракциями. Они вполне комфортно чувствуют себя в пространствах, которые нельзя визуализировать. В любом случае, по мере изменения системы точка, определяющая ее состояние в фазовом пространстве, будет двигаться по этому пространству, вычерчивая некую траекторию. Различные начальные состояния системы соответствуют различным начальным точкам в фазовом пространстве, что, в общем случае, обусловливает различные траектории.

    Странные аттракторы

    Теперь вернемся к нашему маятнику и отметим, что это был идеализированный маятник без трения, раскачивающийся вправо-влево в бесконечном движении. Это типичный пример классической физики, где трением, как правило, пренебрегают. Реальный маятник всегда подвержен некоторому трению, замедляющему его ход, поэтому рано или поздно он остановится. В двухмерном фазовом пространстве это движение отображено кривой, закручивающейся к центру, как показано на рис. 6–9. Эта траектория называется аттрактором, поскольку математики говорят, что, в метафорическом смысле, фиксированная точка в центре системы координат притягивает (англ. «attract») эту траекторию. Метафору распространили и на замкнутые петли, подобные той, что представляет маятник без трения. Траектория в виде замкнутой петли получила название периодического аттрактора, в то время как траектория, закручивающаяся к центру, называется точечным аттрактором.

    В течение последующих двадцати лет метод фазового пространства использовался для исследования множества сложных систем. Каждый раз ученые и математики составляют нелинейные уравнения, решают их численными методами, а компьютеры вычерчивают решения в виде траекторий в фазовом пространстве. К своему великому удивлению, исследователи обнаружили, что число различных аттракторов весьма ограничено. Их формы можно классифицировать топологически, а общие динамические свойства системы — вывести из формы ее аттрактора.

    Существует три основных типа аттракторов: точечные, соответствующие системам, которые достигают устойчивого равновесия; периодические, соответствующие периодическим колебаниям; и так называемые странные аттракторы, соответствующие хаотическим системам. Типичный пример системы со странным аттрактором представляет собой «хаотический маятник», впервые исследованный японским математиком Йошисуке Уэда в конце 1970-х годов. Это нелинейная электронная схема с внешним питанием, относительно простая, но с исключительно сложным поведением16. Каждое колебание этого хаотического генератора колебаний уникально. Система никогда не повторяет себя, и каждый цикл открывает новую область фазового пространства. Тем не менее, несмотря на кажущуюся неустойчивость движения, точки в фазовом пространстве расположены отнюдь не беспорядочно. Вместе они формируют сложный высокоорганизованный паттерн — странный аттрактор, который теперь носит имя Уэда.



    Рис. 6-10. Аттрактор Уэда. Из Uedaetal. (1993)

    Аттрактор Уэда — это траектория в двухмерном фазовом пространстве, которая образует почти повторяющие друг друга паттерны. Это типичная особенность хаотических систем. Изображение на рис. 6-10 содержит более 1 000 000 точек. Ее можно представить в виде среза куска теста, который многократно растягивали и сворачивали. Это означает, что в основе аттрактора Уэда лежит математика преобразования пекаря.

    Одно удивительное свойство странных аттракторов заключается в том, что они, как правило, ограничены малым числом измерений — даже в многомерном фазовом пространстве. Например, система может содержать 50 переменных, но ее движение при этом описывается трехмерным странным аттрактором — свернутой поверхностью в 50-мерном пространстве. Это, естественно, характеризует высокую степень порядка.

    Таким образом, хаотичное поведение — в современном научном понимании этого термина — разительно отличается от беспорядочного, неустойчивого движения. С помощью странных аттракторов можно определить различие между обычной беспорядочностью, или шумом, и хаосом. Хаотичное поведение детерминировано и образует паттерны, а странные аттракторы позволяют преобразовывать на первый взгляд случайные данные в отчетливые визуальные формы.

    «Эффект бабочки»

    Как мы видели на примере преобразования пекаря, для хаотических систем характерна чрезвычайная чувствительность к начальным условиям. Мельчайшие изменения в начальном состоянии системы со временем приводят к крупномасштабным последствиям. В теории хаоса это называется «эффектом бабочки». Основой для названия послужило полушутливое утверждение, что бабочка, всколыхнув сегодня воздух в Пекине, может через месяц оказаться причиной бури в Нью-Йорке. Эффект бабочки был открыт в начале 1960-х годов метеорологом Эдвардом Лоренцом, разработавшим очень простую модель погодных условий, состоящую из трех связанных нелинейных уравнений. Он обнаружил, что решения его уравнений чрезвычайно чувствительны к начальным состояниям. Начинаясь практически в одной точке, две траектории будут развиваться совершенно по-разному, исключая возможность каких бы то ни было заблаговременных предсказаний17.

    Это открытие привело в замешательство все мировое научное сообщество, поскольку ученые давно привыкли полагаться на детерминированные уравнения для предсказания с большой точностью таких феноменов, как солнечные затмения или появление комет. Казалось непостижимым, что четко детерминированные уравнения движения могут привести к непредсказуемым результатам. И все же именно это обнаружил Лоренц. По его собственным словам:

    Обычный человек, видя, что мы достаточно эффективно предсказываем приливы на несколько месяцев вперед, спросит, почему мы не можем проделать то же самое в отношении атмосферы. Ведь это всего лишь другая система потоков и ее законы не более сложны. Но я понял, что любая физическая система, не проявляющая периодичности в поведении, непредсказуема18.

    Модель Лоренца не представляет какого-то реального феномена погоды, но служит поразительным примером того, как простой набор нелинейных уравнений может привести к крайне сложному поведению.

    Публикация этой модели в 1963 году знаменовала зарождение теории хаоса, и аттрактор, известный с тех пор как аттрактор Лоренца, стал самым известным и широко изучаемым из странных аттракторов. В то время как аттрактор Уэда двухмерен, аттрактор Лоренца расположен в трех измерениях (рис. 6-11). Вычерчивая его, точка в фазовом пространстве движется по видимости случайным образом и описывает несколько колебаний нарастающей амплитуды вокруг одного центра, затем следуют колебания вокруг второго центра, потом она внезапно возвращается и осциллирует вокруг первого центра и т. д.



    Рис. 6-11. Аттрактор Лоренца. Из Mosekildeetal. (1994)

    От количества к качеству

    Невозможность предсказать, какую точку в фазовом пространстве пересечет траектория аттрактора Лоренца в определенный момент времени, являет собой общую для хаотических систем особенность. Однако это вовсе не означает, что теория хаоса не дает оснований никаким предсказаниям. Возможны чрезвычайно точные прогнозы относительно качественных особенностей поведения системы, а не точных значений ее переменных в определенный момент времени. Новая математика, таким образом, представляет сдвиг от количества к качеству, что характерно Для системного мышления вообще. В то время как традиционная математика имеет дело с количествами и формулами, теория динамических систем связана с качеством и паттерном.

    Действительно, анализ нелинейных систем с помощью топологических характеристик их аттракторов известен как количественный анализ. У нелинейной системы может быть несколько аттракторов разных типов, как хаотичных, или «странных», так и нехаотичных. Все траектории, начинающиеся в определенной области фазового пространства, рано или поздно приводят к одному и тому же аттрактору. Эта область называется сферой притяжения данного аттрактора. Таким образом, фазовое пространство нелинейной системы разбивается на несколько сфер притяжения, каждой из которых соответствует ее отдельный аттрактор.

    Количественный анализ динамической системы сводится к определению аттракторов системы и сфер их притяжения, а также классификации их в рамках топологических характеристик. Результатом является динамическая картина всей системы, называемая фазовым портретом. Математические методы анализа фазовых портретов основаны на новаторских трудах Пуанкаре; впоследствии они были развиты и усовершенствованы американским топологом Стивеном Смейлом в начале 60-х19. Смейл использовал свой метод не только для анализа систем, представленных определенным набором нелинейных уравнений, но также для изучения того, как ведут себя эти системы при небольших изменениях в их уравнениях. По мере того как параметры уравнений медленно меняются, фазовый портрет — т. е. формы его аттракторов и сферы притяжения — как правило, претерпевает соответствующие плавные изменения, не изменяя своих основных характеристик. Смейл использовал термин «структурно устойчивый» для описания таких систем, в которых небольшие отклонения в уравнениях не изменяют основного характера фазового портрета.

    Во многих нелинейных системах, однако, малые изменения в определенных параметрах могут обусловить серьезные изменения основных характеристик фазового портрета. Аттракторы могут исчезнуть или превратиться из одного в другой, могут также внезапно появиться новые аттракторы. Говорят, что такие системы структурно неустойчивы, и критические точки неустойчивости называют точками бифуркации («разветвления»), поскольку в эволюции системы именно в этих местах внезапно появляется «вилка», и система отклоняется в том или ином новом направлении. В математическом смысле, точки бифуркации отмечают внезапные изменения фазового портрета системы. В физическом смысле, они соответствуют точкам неустойчивости, в которых система резко изменяется, и неожиданно появляются новые формы упорядоченности. Как показал Пригожий, такие неустойчивости случаются только в открытых системах, далеких от равновесия20.

    Поскольку типов аттракторов достаточно мало, то не много существует и различных типов бифуркации; следовательно, их можно классифицировать топологически, как и аттракторы. Одним из первых, кто в 70-е годы осуществил это, был французский математик Рене Том; он использовал термин катастрофы вместо бифуркации и определил семь элементарных катастроф21. В настоящее время математикам известно примерно в три раза больше типов бифуркаций. Ральф Эбрахам, профессор математики в Калифорнийском университете в Санта-Круз, вместе с художником-графиком Кристофером Шоу создали серию книг по визуальной математике без единого уравнения или формулы; авторы считают эти книги началом полной энциклопедии бифуркаций22.

    Фрактальная геометрия

    В то время как в течение 60-х и 70-х гг. ученые исследовали странные аттракторы, независимо от теории хаоса была изобретена фрактальная геометрия, давшая мощный математический язык для описания тонкой структуры хаотических аттракторов. Автором этого нового языка стал французский математик Бенуа Мандельбро. В конце 50-х Мандельбро начал изучать геометрию самых разнообразных нерегулярных естественных феноменов, а в 60-е годы он осознал, что у всех рассматриваемых им геометрических форм есть поразительные общие особенности. В последующие десять лет Мандельбро разрабатывал новый тип математики, чтобы описать и проанализировать эти особенности. Он ввел термин фрактал, характеризующий его изобретение, и опубликовал свои результаты в замечательной книге «Фрактальная геометрия природы». Книга имела огромное влияние на новое поколение математиков, развивавших теорию хаоса и другие разделы теории динамических систем23.

    Недавно в одной из бесед Мандельбро пояснил, что фрактальная геометрия имеет дело с тем аспектом Природы, который каждому известен, но который никто еще не смог описать в формальных математических терминах24. Некоторые природные характеристики геометричны в традиционном смысле. Ствол дерева более или менее подобен цилиндру; полная Луна более или менее напоминает круглый диск; планеты движутся вокруг Солнца по более или менее эллиптическим траекториям. Однако это исключения, и Мандельбро напоминает нам:

    Чаще всего природа в высшей степени сложна. Как описать облако? Облако — это не сфера… Оно похоже на мяч, но очень неупорядоченно. А гора? Гора — не конус… Если вы хотите говорить о горах, реках, молнии, геометрический школьный язык оказывается совершенно неадекватным.

    И Мандельбро создал фрактальную геометрию — «язык, на котором можно говорить об облаках», — чтобы описывать и анализировать сложность нерегулярных форм в окружающем нас мире природы.

    Наиболее поразительное свойство этих «фрактальных» форм заключается в том, что их характерные паттерны многократно повторяются на нисходящих уровнях так, что их части на любом уровне по форме напоминают целое. Мандельбро иллюстрирует это свойство самоподобия, отламывая кусочек цветной капусты и указывая на то, что сам по себе кусочек выглядит как маленький кочан цветной капусты25. Он продолжает демонстрацию, деля часть дальше, изымая еще один кусочек, который тоже выглядит как очень маленький кочан. Таким образом, каждая часть выглядит как целый овощ. Форма целого подобна самой себе на всех уровнях выбранного диапазона.

    В природе встречается множество других примеров самоподобия. Камни в горах напоминают маленькие горы; ответвления молнии или края облаков снова и снова повторяют один и тот же паттерн; побережье моря можно делить на все более мелкие части, и в каждой из них будут проявляться подобные друг другу очертания береговой линии. Фотографии дельты реки, кроны дерева или ветвления кровеносных сосудов могут проявлять паттерны такого разительного сходства, что мы порой не можем отличить один от другого. Подобие образов совершенно различных масштабов было известно очень давно, но до Мандельбро никто не владел математическим языком для описания этого явления.

    Когда в середине 70-х Мандельбро опубликовал свою новаторскую книгу, он еще сам не догадывался о связи между фрактальной геометрией и теорией хаоса, но ему и его коллегам-математикам не понадобилось много времени, чтобы обнаружить, что странные аттракторы могут служить изысканнейшими примерами фракталов. Если части их структуры увеличить, то обнаруживается многослойная субструктура, в которой вновь и вновь повторяются одни и те же паттерны. В связи с этим странные аттракторы стали определять как траектории в фазовом пространстве, в которых проявляются черты фрактальной геометрии.

    Еще одна важная связь между теорией хаоса и фрактальной геометрией проявилась в переходе от количества к качеству. Как мы видели, невозможно предсказать значения переменных хаотической системы в определенный момент времени, но можно предсказать качественные особенности поведения системы. Точно так же, невозможно вычислить длину или площадь фрактальной формы, однако можно — качественным способом — определить степень ее изрезанности.

    Мандельбро подчеркнул эту существенную особенность фрактальных форм, задав провоцирующий вопрос: какова протяженность побережья Британии? Он показал, что, поскольку измеряемую длину можно растягивать до бесконечности, переходя ко все более мелкому масштабу, на этот вопрос нет однозначного ответа. Зато можно определить число в диапазоне от 1 до 2, которое характеризует изрезанность побережья. Для британского побережья это число равно около 1,58; для более изрезанного норвежского берега оно близко к 1,7027.

    Поскольку можно показать, что это число имеет определенные свойства размерности, Мандельбро назвал его фрактальной размерностью. Мы можем понять эту идею интуитивно, зная, что извилистая линия занимает больше пространства на плоскости, чем одномерная гладкая линия, но меньше, чем сама двухмерная плоскость. Чем больше изрезана линия, тем ближе к числу 2 ее фрактальная размерность. Подобным же образом, скомканный лист бумаги занимает больше пространства, чем плоскость, но меньше, чем сфера. Таким образом, чем плотнее скомкана бумага, тем ближе к числу 3 будет ее фрактальная размерность.

    Концепция фрактальной размерности, изначально появившаяся как чисто абстрактная математическая идея, превратилась со временем в мощный инструмент анализа сложности фрактальных форм, поскольку замечательно соответствует нашему жизненному опыту. Чем более изрезаны очертания молнии или границы облаков, чем менее сглажены формы побережий или гор, тем выше их фрактальные размерности. Чтобы смоделировать фрактальные формы, встречающиеся в природе, можно сконструировать геометрические фигуры, обладающие точным самоподобием. Основным методом для построения таких математических фракталов служит итерация, т. е. многократное повторение определенной геометрической операции. Процесс итерации, который привел нас к преобразованию пекаря — математической операции, лежащей в основе странных аттракторов, — оказался, таким образом, главной математической особенностью, объединяющей теорию хаоса с фрактальной геометрией.

    Одной из простейших фрактальных форм, производимых итерацией, является так называемая кривая Коха, или «кривая снежинки»27. Геометрическая операция заключается в том, чтобы разбить отрезок линии на три равные части и затем заменить центральную секцию двумя сторонами равностороннего треугольника, как показано на рис. 6-12. Повторение этой операции во все более мелких масштабах приводит к появлению кружевной снежинки (рис. 6-13). Как и в случае с изрезанной береговой линией, кривая Коха становится бесконечно длинной, если итерация продолжается бесконечно. В сущности, кривую Коха можно рассматривать как очень грубую модель береговой линии (рис. 6-14).



    Рис. 6-14. Моделирование береговой линии с помощью кривой Коха

    Математика сложных систем

    С помощью компьютеров простые геометрические итерации можно применять тысячи раз в различных масштабах, производя так называемые фрактальные подделки — компьютерные модели растений, деревьев, гор, береговых линий и т. п., обладающие поразительным сходством с реальными формами, которые встречаются в природе. На рис. 6-15 приведен пример такой подделки. Производя итерацию над простым рисунком веточки в различных масштабах, удалось получить красивое и сложное изображение папоротника.



    Рис. 6-15. Фрактальная подделка папоротника. Из Garcia (1991)

    Этот новый математический аппарат позволил ученым строить точные модели разнообразных нерегулярных естественных форм. Занимаясь этим моделированием, они повсеместно обнаруживали присутствие фракталов. Фрактальные паттерны облаков, которые изначально воодушевили Мандельбро на поиски нового математического языка, вероятно, самые изумительные. Их самоподобие охватывает семь порядков величин, а это означает, что если границу облака увеличить в 10 000 000 раз, она будет иметь все ту же знакомую форму.

    Комплексные числа

    Вершиной фрактальной геометрии стало открытие Мандельбро математической структуры, которая обладает ошеломляющей сложностью и все же может быть воспроизведена с помощью очень простой итеративной процедуры. Чтобы понять эту поразительную фрактальную фигуру, известную как множество Мандельбро, необходимо сначала ознакомиться с одним из важнейших математических понятий — комплексными числами.

    Открытие комплексных чисел стало восхитительной главой в истории математики28. Когда в средние века возникла алгебра и математики принялись исследовать все виды уравнений и классифицировать их решения, они вскоре столкнулись с задачами, не имевшими решения в рамках множества известных им чисел. В частности, уравнения типа х + 5 = 3 заставили их расширить понятие числа до отрицательных чисел, так чтобы решение могло быть записано как х = -2. В дальнейшем так называемые действительные числа — положительные и отрицательные целые числа, дроби и иррациональные числа (например, квадратные корни или знаменитое число п) — стали представлять как точки на единой плотно населенной числовой оси (рис. 6-16).

    — 5/2 1/2 ?



    — 4–3 -2 -1 0 1 2 3 4

    Рис. 6-16 Числовая ось

    С таким расширением понятия числа все алгебраические уравнения, в принципе, могли быть решены — за исключением тех, где фигурировали квадратные корни отрицательных чисел. Уравнение х2 = 4 имеет два решения: х = 2 и х = -2; однако для х2 = -4, по всей видимости, не должно быть решения, поскольку ни +2, ни — 2 при возведении в квадрат не дадут -4.

    Древние индийские и арабские алгебраисты постоянно встречались с такими уравнениями, но отказывались даже записывать выражения типа, считая их абсолютно бессмысленными. И только в XVI веке квадратные корни отрицательных чисел стали появляться в алгебраических текстах, но и тогда авторы спешили пояснить, что такие выражения на самом деле ничего не означают.

    Декарт называл квадратный корень отрицательного числа «мнимым числом» и был уверен, что появление таких мнимых чисел в расчетах означает, что проблема неразрешима. Другие математики использовали термины «фиктивные», «фальшивые» или «невозможные» для обозначения величин, которые сегодня мы, с легкой руки Декарта, все еще называем мнимыми числами.

    Поскольку квадратный корень отрицательного числа не может быть помещен ни в одной точке числовой оси, математики, вплоть до XIX столетия, не могли наделить эти величины никаким реальным смыслом. Великий Лейбниц, изобретатель дифференциального исчисления, приписывал выражению мистические свойства, видя в нем проявление Божественного Духа и называя его «этой амфибией между бытием и небытием»29. Столетие спустя Леонард Эйлер, самый плодотворный математик всех времен, выразил ту же мысль в своей «Алгебре» словами хотя и менее поэтичными, но все же содержащими отголосок Чуда:

    Следовательно, все такие выражения, как, и т. п., есть невозможные, или мнимые числа, поскольку представляют корни отрицательных величин; по поводу таких чисел мы можем достоверно утверждать, что они ни ничто, ни нечто большее, чем ничто, ни нечто меньшее, чем ничто, из чего неизбежно следует, что они мнимы, или невозможны30.

    В XIX веке другой математический гений, Карл Фридрих Гаусс, окончательно и твердо провозгласил, что «этим мнимым сущностям может быть приписано объективное бытие»31. Гаусс, конечно, понимал, что мнимым числам не найдется места на числовой оси, а поэтому он попросту поместил их на перпендикулярную ось, которую провел через нулевую точку основной оси, построив таким образом декартову систему координат. В этой системе все действительные числа располагаются на действительной оси, а все мнимые числа — на мнимой оси (рис. 6-17 называется мнимой единицей и обозначается символом i. А поскольку любой квадратный корень отрицательного числа всегда может быть представлен как = = i, то все мнимые числа можно расположить на мнимой оси как кратные»'.

    Таким остроумным способом Гаусс создал прибежище не только для мнимых чисел, но и для всех возможных комбинаций действительных и мнимых чисел, например, (2 + i), (3 — i) и т. п. Такие комбинации получили название комплексных чисел; они представлены точками на плоскости, которая называется комплексной плоскостью и образована действительной и мнимой осями. В общем случае любое комплексное число можно записать в виде

    z = х + iy,

    где х — действительная часть, а у — мнимая часть.

    Введя это определение, Гаусс создал специальную алгебру комплексных чисел и разработал множество фундаментальных идей в области функций комплексного переменного. В конце концов это привело к появлению целого раздела математики, известного как комплексный анализ, который выделяется огромным диапазоном применений в самых разнообразных областях науки.



    Рис. 6-17. Комплексная плоскость

    Паттерны внутри паттернов

    Причина, по которой мы затеяли этот экскурс в историю комплексных чисел, заключается в том, что многие фрактальные формы могут быть воспроизведены математически, с помощью итеративных процедур на комплексной плоскости. В конце 70-х годов, опубликовав свою новаторскую книгу, Мандельбро обратил внимание на особый класс математических фракталов, известных как множества Жулиа32. Эти множества были открыты французским математиком Гастоном Жулиа в начале XX столетия, но скоро канули в безвестность. Интересно отметить, что Мандельбро впервые наткнулся на работы Жулиа еще студентом, посмотрел на его примитивные рисунки (выполненные в те времена без помощи компьютера) и потерял к ним интерес. Спустя полвека, однако, Мандельбро понял, что рисунки Жулиа представляют собой грубые наброски сложных фрактальных форм; и он принялся подробно воспроизводить их с помощью самых мощных компьютеров, какие только сумел найти. Результаты оказались поразительными.

    В основу множества Жулиа положено простое отображение

    Z> Z2 + С,

    Где z— комплексная переменная, а с — комплексная постоянная. Итеративная процедура состоит в выборе любого числа z на комплексной плоскости, возведении его в квадрат, добавлении константы с, возведении результата в квадрат, добавлении к нему константы с и т. п. Когда это вычисление выполняется с различными начальными значениями z, некоторые из них будут увеличиваться до бесконечности в ходе процесса итерации, в то время как другие остаются конечными33. Множество Жулиа — это набор всех тех значений z, или точек на комплексной плоскости, которые при итерации ограничены некоторым пределом, т. е. конечны.

    Чтобы определить тип множества Жулиа для определенной константы с, итерацию необходимо каждый раз выполнить для нескольких тысяч точек, пока не выяснится, продолжают ли значения увеличиваться или остаются конечными. Если конечные точки помечать черным Цветом, а те, что продолжают увеличиваться, — белым, множество Жулиа в конце концов проявится в виде черной фигуры. Вся процедура очень проста, но занимает много времени. Очевидно, необходимо использование высокоскоростного компьютера, чтобы получить точную форму за приемлемое время.

    Для каждой константы с можно получить различные множества Жулиа, поэтому число этих множеств неограниченно. Некоторые из них представляют собой отдельные, связанные между собой части; другие распадаются на несколько изолированных частей; а третьи выглядят так, будто они рассыпались на мелкие осколки (рис. 6-18). Все множества отличаются неровными, изрезанными очертаниями, что характерно для фракталов, и большинство из них невозможно описать языком классической геометрии. «Получается невообразимое разнообразие множеств Жулиа, — восхищается французский математик Адриен Дуади. — Одни напоминают плотные облака, другие — тощий куст ежевики, а некоторые похожи на искры, парящие в воздухе после фейерверка. Встречается форма кролика, многие напоминают хвосты морских коньков»34.













    Рис. 6-18. Разнообразие множеств Жулиа. Из PeitigenandRichter (1986)

    Богатство и разнообразие форм, многие из которых напоминают живые создания, просто поражает. Однако настоящие чудеса начинаются, когда мы увеличиваем очертания любой части множества Жулиа. Как и в случае с облаком или береговой линией, такое же богатство отображается на всех уровнях диапазона исследования. С увеличением степени разрешения (т. е. когда все больше и больше знаков после точки учитывается при вычислении числа z) появляется все больше и больше деталей контура фрактала и обнаруживается фантастическая последовательность паттернов внутри паттернов — похожих, но никогда не идентичных друг другу.

    Когда Мандельбро в конце 70-х годов анализировал различные математические проявления множеств Жулиа, пытаясь классифицировать их бесконечное многообразие, он открыл очень простой способ создания единого изображения на комплексной плоскости, которое может служить своеобразным каталогом всех возможных множеств Жулиа. Это изображение, с тех пор ставшее основным визуальным символом новой математики сложных систем, называется множеством Мандельбро (рис. 6-19). Это просто совокупность на комплексной плоскости всех точек с константой с, для которых соответствующие множества Жулиа представляют единые связные области. Чтобы построить множество Мандельбро, таким образом, следует построить отдельное множество Жулиа для каждой точки с на комплексной плоскости и определить, является ли это конкретное множество связным или разделенным. Например, среди множеств Жулиа, изображенных на рис. 6-18, три набора в верхнем ряду и один в центре нижнего ряда — связны (т. е. каждое из них представляет собой единую фигуру), в то время как крайние наборы в нижнем ряду разделены (т. е. состоят из нескольких отдельных областей).



    Рис. 6-19. Множество Мандельбро. Из PeitgenandRichter (1986)

    Генерирование множеств Жулиа для нескольких тысяч значений с, каждое из которых складывается из тысяч точек, требующих многократных итераций, представляется невыполнимой задачей. Однако к счастью, существует мощная теорема, сформулированная самим Гастоном Жулиа, которая значительно сокращает количество необходимых шагов35. Чтобы выяснить, является ли конкретное множество Жулиа связным или разделенным, следует просто произвести итерацию для начальной точки z = 0. Если после нескольких итераций значение в этой точке остается конечным, т. е. имеет некоторый конечный предел, то множество Жулиа будет связным, каким бы фантастичным оно ни выглядело; если же это значение стремится к бесконечности, множество всегда будет разъединенным. Поэтому, чтобы построить множество Мандельбро, необходимо выполнить итерацию лишь в одной точке, z = 0, для каждого значения с. Иными словами, для построения множества Мандельбро требуется такое же количество шагов, как и для множества Жулиа.

    В то время как существует бесконечное количество множеств Жулиа, множество Мандельбро уникально. Эта странная фигура представляет собой самый сложный математический объект из всех когда-либо изобретенных. И хотя правила его построения очень просты, многообразие и сложность, которые он проявляет при ближайшем рассмотрении, просто невероятны. Когда множество Мандельбро строится на фиксированной координатной сетке, на экране компьютера появляются два диска: меньший имеет относительно круглую форму, больший отдаленно напоминает очертания сердца. На каждом из двух дисков выделяется несколько небольших дискообразных наростов, расположенных вдоль границ диска, а дальнейшее повышение разрешения выявляет изобилие все более мелких наростов, напоминающих колючие шипы.

    Начиная с этого момента, богатство образов, выявляемых расширением границ множества (т. е. повышением разрешающей способности вычислений), почти не поддается описанию. Такое путешествие вглубь множества Мандельбро, особенно зафиксированное на видеопленке, представляет собой незабываемый опыт36. По мере того как масштаб съемки растет и изображение границы укрупняется, кажется, что прорастают побеги и усики, которые, после очередного увеличения, растворяются в огромном количестве форм — спиралей внутри спиралей, морских коньков и водоворотов, снова и снова повторяющих одни и те же паттерны (рис. 6-20).

    Математика сложных систем













    Рис. 6-20.

    Стадии путешествия вглубь множества Мандельбро. На каждой фотографии область последующего увеличения помечена белой рамкой.

    Из PeitgenandRichter (1986)

    На каждой стадии изменения масштаба этого фантастического путешествия — в ходе которого мощности сегодняшних компьютеров обеспечивают 100 000 000-кратное увеличение! — картина напоминает причудливо изрезанное побережье; образы, изобилующие в узорах этого «побережья», удивительно напоминают органические существа во всей их бесконечной сложности. И на каждом шагу нас ждет головокружительное открытие: мы снова и снова обнаруживаем мельчайшую копию всего множества Мандельбро, глубоко запрятанную в структуре его границы.

    Как только изображение множества Мандельбро появилось в августе 1985 года на обложке «ScientificAmerican», сотни компьютерных энтузиастов принялись использовать итеративную программу, опубликованную в этом номере, для собственных путешествий на домашних компьютерах в дебри множества. Паттерны, обнаруженные в этих путешествиях, эффектно раскрашивались, а полученные картины публиковались в многочисленных книгах и показывались на выставках компьютерного искусства во всех уголках мира37. Рассматривая эти изумительно красивые изображения закрученных спиралей, водоворотов, морских коньков, органических форм, расцветающих и превращающихся в пыль, нельзя не заметить поразительного сходства этих картин с психоделическим искусством 1960-х годов. Это было искусство, инспирированное схожими путешествиями, но содействовали им не компьютеры и новая математика, а ЛСД и другие психоделические наркотики.

    Термин психоделический («проявляющий разум») был изобретен не случайно: подробные исследования показали, что эти наркотики действуют на человека как усилители, или катализаторы, его собственных психических процессов38. Можно предположить поэтому, что фрактальные паттерны, столь поразительно проявляющиеся в ЛСД-опыте, каким-то образом встроены в человеческий мозг. Фрактальная геометрия и ЛСД были открыты почти одновременно: это еще одно из тех невероятных совпадений — или синхронизмов? — которые часто происходят в истории идей.

    Множество Мандельбро можно рассматривать как склад, резервуар паттернов с их бесконечными деталями и вариациями. Строго говоря, оно не самоподобно, поскольку не только снова и снова повторяет одни и те же паттерны, включая маленькие копии всего множества, но и содержит, кроме этого, элементы из бесконечного набора множеств Жулиа! Таким образом, это сверхфрактал непостижимой сложности.

    И вместе с тем эта структура, превосходящая своей сложностью все пределы человеческого воображения, строится на основе нескольких очень простых правил. Другими словами, фрактальная геометрия, как и теория хаоса, вынудила ученых и математиков пересмотреть само понятие сложности. В классической математике простые формулы соответствуют простым формам, сложные формулы — сложным формам. В новой математике сложных систем ситуация радикально другая. Простые уравнения могут генерировать поразительно сложные странные аттракторы, а простые правила итерации порождают структуры более сложные, чем мы можем себе представить. Мандельбро видит в этом новое волнующее направление в науке:

    Это очень оптимистичный результат, потому что в конце концов изначальный смысл изучения хаоса состоял в попытке найти простые законы в окружающей нас Вселенной… Человек всегда направляет свои усилия на поиск простых объяснений для сложных реальностей. Однако контраст между простотой и сложностью никогда еще не был сравним с тем, что мы находим здесь39.

    Огромный интерес к фрактальной геометрии распространился далеко за пределы математического сообщества. Мандельбро видит в этом здоровое направление развития общества. Он надеется, что это положит конец изоляции математики от других видов человеческой деятельности и повсеместному игнорированию математического языка даже среди людей, в общем, высокообразованных.

    Эта изоляция математики — поразительный показатель нашей интеллектуальной разобщенности, и в этом смысле она относительно нова. На протяжении нескольких веков многие великие математики вносили выдающийся вклад и в другие области. Так, в XI веке, персидский поэт Омар Хайям, всемирно известный автор «Рубапят», написал, помимо этого, новаторскую книгу по алгебре и служил официальным астрономом при дворе халифа. Декарт, основатель современной философии, был блестящим математиком, а также практиковал медицину. Оба изобретателя дифференциального исчисления, Ньютон и Лейбниц, проявляли активность и в других областях знания помимо математики. Ньютон был натурфилософом и внес фундаментальный вклад практически во все разделы науки, известные в его времена, а кроме того, в алхимию, теологию и историю. Лейбниц известен прежде всего как философ, но он также был основателем символической логики и большую часть своей жизни вел активную деятельность в качестве дипломата и историка. Великий математик Гаусс был также физиком и астрономом, изобрел несколько полезных технических устройств, в том числе электрический телеграф.

    Эти примеры, к которым можно добавить не один десяток других, показывают, что на протяжении всей нашей интеллектуальной истории математика никогда не была изолирована от других сфер человеческого знания и деятельности. В XX веке, однако, прогрессирующий редукционизм, фрагментация и специализация привели к крайней степени изоляции математики даже внутри научного сообщества. Так, теоретик хаоса Ральф Эбрем вспоминает:

    Когда я начал свою профессиональную деятельность в математике в 1960 году, то есть не так уж давно, математика во всей ее полноте отвергалась физиками, включая и самых авангардных математических физиков… Было отвергнуто все, что еще год или два назад использовал Эйнштейн… Физики отказывали старшекурсникам в разрешении на посещение математических курсов, проводимых математиками: «Учитесь математике у нас. Мы научим вас тому, что вам следует знать»… Это было в 1960 году. К 1968 году ситуация изменилась полностью40.

    Великое очарование теорией хаоса и фрактальной геометрией, распространившееся среди людей, которые работают в разных областях — от ученых до менеджеров и художников, — возможно, и в самом деле свидетельствует, что изоляции математики приходит конец. В наше время новая математика сложных систем все чаще побуждает людей к осознанию того, что математика вообще — это нечто намного большее, чем сухие формулы; что понимание паттерна — необходимый путь к пониманию окружающего нас живого мира; и что все проблемы паттерна, порядка и сложности — это проблемы существенно математического характера.

    Примечания к главе 6

    Цитируется по Сарга (1982), р. 55.

    Цитируется по Сарга (1982), р. 63.

    Stewart (1989), р. 38.

    Цитируется там же, р. 51.

    Точнее, давление — это сила, поделенная на площадь, на которую давит газ.

    Здесь, очевидно, следует сделать техническое замечание. Математики различают зависимые и независимые переменные. В функции у = f (х), у — зависимаяпеременная, ах — независимая. Дифференциальные уравнения называютсялинейными-, если все зависимые переменные присутствуют в них в первой степени, а независимые переменные могут появляться и в более высоких степенях. В нелинейных же уравнениях зависимые переменные присутствуют в степенях выше первой. См. также выше, с. 133–136.

    См. Stewart (1989), р. 83.

    См. Briggs and Peat (1989), p. 52ff.

    См. Stewart (1989), p. 155ff.

    Cm. Stewart (1989), pp. 95–96.

    См. выше, с 139–140.

    Цитируется по Stuart (1989), p. 71.

    Там же, р. 72; подробнее о странных аттракторах см. выше, с. 150 и далее.

    См. Сарга (1982), p. 75ff.

    См. Prigogine and Stengers (1984), p. 247.

    См. Mosekilde et al. (1988).

    CM.Gleick(1987),p. llff.

    Цитируется по Gleick (1987), p. 18.

    Cm. Stewart (1989), p. 106ff.

    См. выше, с. 103 и далее.

    См. Briggs and Peat (1989), p. 84.

    Abraham and Shaw (1982-88).

    Mandelbrot (1983).

    Cm. Peitgenetal. (1990). Эта видеокассета, содержащая великолепную компьютерную анимацию и увлекательное интервью с Бенуа Мандельбро и Эдвардом Лоренцем, может служить одним из лучших введений в фрактальную геометрию.

    См. там же.

    См. Peitgen etal. (1990).

    См. Mandelbrot (1983), p. 34ff.

    См. Dantzig (1954),p. 181 ff.

    Цитируется по Dantzig (1954), р. 204.

    Цитируется там же, р. 189.

    Цитируется там же, р. 190.

    CM.Gleick(1987),p.221ff.

    Легко понять, что любое число больше 1 увеличивается при каждом очередном возведении в квадрат, тогда как число меньше 1 уменьшается. Добавление константы перед возведением в квадрат на каждой ступени итерации добавляет разнообразие; для комплексных чисел вся ситуация еще более усложняется.

    Цитируется по Gleick (1987), pp. 221–222.

    См. Peitgen et al. (1990).

    См. Peitgen et al. (1990).

    37. Cm. Peitgen and Richter (1986).

    38. CM.Grof(1976).

    Цитируется по Peitgenetal. (1990).

    Цитируется по Gleick (1987), p. 52.